Cum de a rezolva ecuațiile pătrate

Ecuația pătrată se numește o astfel de ecuație în care cea mai mare valoare a gradului variabili este de 2. Există trei modalități de bază pentru a rezolva ecuațiile pătrate: dacă este posibil, descompuneți ecuația pătrată pentru multiplicatori, pentru a utiliza formula rădăcină a ecuației pătrate sau adăugați la un pătrat complet. Doriți să știți cum se face toate astea? Citiți mai departe.

Pași

Metoda 1 din 3:

Descompunerea factorilor

unu. Derulați elemente similare și transferați la o parte a ecuației. Acesta va fi primul pas, valoare

X 2

$x ^ {2}$ Ar trebui să rămână pozitivă. Pliați sau deduceți toate valorile

X 2

$x ^ {2}$ ,

X

și constantă, a efectuat toate într-o parte și plecând 0 în alta. Acesta este modul în care se face:

$2 X 2 - opt X - 4 = 3 X - X^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 X 2 + X^{2} - opt X - 3 X - 4 = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0$
$3 X 2 - unsprezece X - 4 = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 2

2. Răspândiți expresia pe multiplicatori. Pentru a face acest lucru, utilizați valori

X 2

$x ^ {2}$ (3), valori constante (-4), trebuie să se înmulțească și să formeze -11. Iată cum puteți să o faceți:

3 X 2

$3x ^ {2}$ Are doar doi factori posibili:

3 X

și

X

, Astfel încât acestea pot fi înregistrate în paranteze:

(3 X \pm ?) (X \pm ?) = 0

În plus, înlocuirea multiplicatorilor 4, vom găsi o combinație atunci când multiplicarea dă -11x. Puteți utiliza o combinație de 4 și 1 sau 2 și 2, deoarece ambele oferă 4. Amintiți-vă că valorile trebuie să fie negative, pentru că suntem -4.

Probele și eroarea obțineți o combinație

(3 X + unu) (X - 4)

. Când se înmulțesc, ajungem

3 X 2 - 12 X + X - 4

$3x ^ {2} -12x + x-4$ . Conexiune

- 12 X

și

X

, Avem cocoșul de mijloc

- unsprezece X

, pe care o căutam. Ecuația pătrată este descompusă pe multiplicatori.

De exemplu, încercați combinația necorespunzătoare: (

(3 X - 2) (X + 2)

3 X 2 + 6 X - 2 X - 4

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Prin combinarea, ajungem

3 X 2 - 4 X - 4

$3x ^ {2} -4x-4$ . Deși există multiplicatori -4 și 2 cu multiplicare --4, membrul mediu nu se potrivește, pentru că am vrut să ajungem

- unsprezece X

, dar nu

- 4 X

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 3

3. Echivalează fiecare expresie în paranteze la zero (ca ecuații separate). Deci vom găsi două sensuri

X

, La care toată ecuația este zero,

(3 X + unu) (X - 4)

= 0. Acum rămâne să echivalează cu zero fiecare dintre expresiile din paranteze. De ce? Faptul este că lucrarea este egală cu zero când cel puțin unul dintre multiplicatori este zero. La fel de

(3 X + unu) (X - 4)

este egal cu zero, fie (3x + 1), fie (x - 4) este zero. Scrie

3 X + unu = 0

și

X - 4 = 0

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 4

4. Decideți fiecare ecuație separat. În ecuația pătrată X are două valori. Decideți ecuațiile și scrieți valorile X:

Decideți ecuația 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... prin scăderea

3x / 3 = -1/3 ..... de către diviziune

x = -1/3 ..... După simplificare

Decideți ecuația X - 4 = 0

x = 4 ..... prin scăderea

x = (-1/3, 4)..... Valori posibile, adică x = -1/3 sau x = 4.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 5

cinci. Verificați X = -1/3, substituind această valoare în (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... prin substituție

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... După simplificare

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... După multiplicarea

0 = 0, prin urmare, x = -1/3 - răspunsul corect.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 6

6. Verificați x = 4, substituirea acestei valori în (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [4] + 1) ([4] - 4) ?=? 0 ..... prin substituție

(13) (4-4) ?=? 0 ..... După simplificare

(13) (0) = 0 ..... După multiplicarea

0 = 0, prin urmare, x = 4 - răspunsul corect.

Astfel, ambele soluții sunt credincioși.

Metoda 2 din 3:

Utilizarea rădăcinii ecuației pătrate

unu. Combinați toți membrii și scrieți ecuația pe o parte. Salvați valoarea

X 2

$x ^ {2}$ pozitiv. Notați membrii pentru a reduce gradele, deci un membru

X 2

$x ^ {2}$ scrisă în primul rând

X

Și apoi permanent:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 8

2. Înregistrați formula rădăcină a ecuației pătrate. Formula are forma următoare:

- B \pm \sqrt{B} 2 - 4 A C 2 A

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 9

3. Determinați valorile A, B și C în ecuația pătrată. Variabil A - Coeficientul de membru X, B - Membru X, C - Permanent. Pentru ecuația 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 și c = -8. Scrie pe hartie.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 10

4. Submold valorile A, B și C la ecuație. Cunoașterea valorilor a trei variabile, le puteți substitui ecuației după cum urmează:

{-b +/- √ (b - 4ac)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 11

cinci. Numara. Înlocuirea semnificațiilor, simplificați argumentele pro și contra, înmulțirea sau ridicarea membrilor rămași:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 12

6. Simplificați rădăcina pătrată. Dacă numărul sub semnul unei rădăcini pătrate - un pătrat, veți obține un număr întreg. Dacă nu, simplificați-o la cea mai simplă valoare rădăcină. Dacă numărul este negativ, Și sunteți sigur că ar trebui să fie negativă, Apoi rădăcinile vor fi complexe. În acest exemplu, √ (121) = 11. Puteți scrie că x = (5 +/- 11) / 6.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 13

7. Găsiți soluții pozitive și negative. Dacă ați șters un semn de rădăcină pătrată, puteți continua până când găsiți valori pozitive și negative x. Având (5 +/- 11) / 6, puteți scrie:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 14

opt. Găsiți valori pozitive și negative. Numai numărul:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 15

nouă. Simplifica. Pentru aceasta, împărțiți atât pentru cel mai mare divizor comun. Prima fracțiune este împărțită la 2, a doua la 6, a găsit.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Metoda 3 din 3:

În plus față de un pătrat complet

unu. Transferați toți membrii într-o parte a ecuației. A sau x ar trebui să fie pozitive. Acest lucru se face astfel:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

În această ecuație A: 2, B: -12,C: -Nine.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 17

2. Transferați un penis C (constant) la cealaltă parte. Permanent este membru al ecuației care conține doar o valoare numerică fără variabile. Transferați-o în partea dreaptă:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 18

3. Împărțiți ambele părți pe coeficient A sau x. Dacă X nu are un coeficient, atunci este egal cu unul și acest pas poate fi omis. În exemplul nostru, toți membrii împărți 2:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

x - 6x = 9/2

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 19

4. Divide B pe 2, luați pătratul și adăugați la ambele părți. În exemplul nostru B egal cu -6:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

x - 6x + 9 = 9/2 + 9

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 20

cinci. Asemănătoare ambelor părți. Devreme membrii din stânga și se dovedesc (X-3) (X-3) sau (X-3). Fold membrii în dreapta și primiți 9/2 + 9 sau 9/2 + 18/2, care este de 27/2.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 21

Scoateți rădăcina pătrată din ambele părți. Rădăcina pătrată de la (x-3) este pur și simplu egală (X-3). Rădăcina pătrată de 27/2 poate fi scrisă ca ± √ (27/2). Astfel, x - 3 = √ (27/2).

Imagine intitulată rezolva ecuațiile patrate Pasul 22

Simplificați expresia de alimentare și găsiți X. Pentru a simplifica ± √ (27/2), găsiți un pătrat complet în numerele 27 și 2 sau multiplicatorii acestora. În 27 există un pătrat complet 9, deoarece 9 x 3 = 27. Pentru a aduce 9 de la semnul rădăcinii, scoateți rădăcina din ea și scoateți 3 din semnul rădăcinii. Lăsați 3 în fracțiunile cifre sub semnul rădăcinii, deoarece acest multiplicator nu poate fi învățat și, de asemenea, lăsați 2 de mai jos. Apoi, transferați permanent 3 din partea stângă a ecuației în dreapta și scrieți două soluții pentru x:

x = 3 + (√6) / 2

X = 3 - (√6) / 2)

sfaturi

Dacă numărul sub rădăcină nu este un pătrat complet, atunci ultimii câțiva pași sunt efectuați puțin diferit. Iată un exemplu:
După cum puteți vedea, semnul rădăcinii nu a dispărut. O astfel de imagine a membrilor în numerotare nu poate fi combinată. Atunci nu are sens să spargă plus sau-minus. În schimb, împărțim orice multiplicatori comuni - dar numai Dacă multiplicatorul este comun pentru constant și Coeficientul de rădăcină.