Cum să simplificați expresia ghidată

Expresia anterioară este o expresie algebrică care este sub semnul rădăcinii (ordin pătrat, cubic sau superior). Uneori, valorile diferitelor expresii pot fi aceleași, de exemplu, 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Simplificarea expresiei de alimentare este concepută pentru ao aduce la o formă canonică de înregistrare.Dacă două expresii care sunt înregistrate în formă canonică sunt încă diferite, valorile lor nu sunt egale. În matematică se crede că forma canonică de înregistrare a expresiilor de hrănire (precum și expresiile cu rădăcini) respectă următoarele reguli:

Dacă este posibil, scapați de fracțiunea sub semnul rădăcinii
Scoateți expresia cu indicatorul fracționat
Dacă este posibil, scapați de rădăcinile din numitor
Scapă de o operațiune de multiplicare rădăcină rădăcină
Sub semnul rădăcinii, trebuie să lăsați numai acei membri din care nu poate fi extrasă o rădăcină întregă

Aceste reguli pot fi aplicate executării sarcinilor de testare. De exemplu, dacă decideți la sarcină, dar rezultatul nu se potrivește cu niciunul dintre răspunsurile date, scrieți rezultatul în formă canonică. Rețineți că răspunsurile la sarcinile de testare sunt date în formă canonică, deci dacă scrieți rezultatul în aceeași formă, puteți determina cu ușurință răspunsul corect. Dacă sarcina este necesară pentru a "simplifica răspunsul" sau "simplificați expresii de hrănire", este necesar să se înregistreze rezultatul în formă canonică. Mai mult, forma canonică simplifică soluția de ecuații, deși cu unele ecuații este mai ușor să se descurce dacă pentru o vreme uită de forma canonică de înregistrare.

Pași

unu. Dacă este necesar, amintiți-vă regulile pentru efectuarea operațiunilor cu rădăcini și grade (Amintiți-vă: expresia ghidată este o expresie cu un indicator fracționat al gradului), deoarece astfel de reguli vor fi necesare în viitor. În plus, amintiți-vă regulile pentru apel și simplificați polinomii și Expresii raționale.

Metoda 1 din 6:

Scaunul de pătrate complete și cu cuburi complete

unu. Simplificați expresia de alimentare care este un pătrat complet. Piața completă este un număr care este un pătrat de un număr întreg, de exemplu, 81 este un pătrat complet, deoarece 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Pentru a simplifica expresia de hrănire, care este un pătrat complet, doar scăpați de semnul rădăcinii și scrieți un număr întreg (când piața va fi în piață).

De exemplu, 121 este un pătrat complet, deoarece 11 x 11 = 121. Astfel, √121 = 11 (adică scăpăm de semnul rădăcinii și scrie un număr întreg).
Pentru a facilita calculele, amintiți-vă următoarele pătrate pline: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Simplificați expresia condiționată care este plină de cub. Un cub complet este un număr care este un cub de un număr întreg, de exemplu, 27 este un cub complet, deoarece 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Pentru a simplifica expresia de hrănire care este un cub complet, doar scăpați de semnul rădăcinii și scrieți un număr întreg (când cubul va fi în cub).

De exemplu, 343 este un cub complet, deoarece 7 x 7 x 7 = 343. Astfel, rădăcina cubică de 343 este de 7.

Metoda 2 din 6:

Scapă de exprimare cu indicatorul fracționat

Conversia expresiei cu un indicator fracționat într-o expresie ghidată. Sau, dacă este necesar, convertiți expresia condiționată într-o expresie cu un indicator fracționat, dar nu amestecați niciodată astfel de expresii într-o singură ecuație, de exemplu, după cum urmează: √5 + 5 ^ (3/2). Să presupunem că ați decis să lucrați cu rădăcina rădăcină-pătrată de la N, insemna ca √n, iar rădăcina cubică a lui N ca un CUBE√N.

unu. Găsiți o expresie cu un indicator fracționat și transformați-l într-o expresie ghidată: x ^ (a / b) = rădăcina graficului B-Th de la x ^ a.

Dacă gradul de rădăcină este o fracție, scapă de ea. De exemplu, o rădăcină de 2 / grade 3 de la 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Conversia expresiei cu un indicator negativ la expresia fracționată corespunzătoare: x ^ (- y) = 1 / x ^.

Acest lucru se aplică numai unor indicatori constanți și raționali. Când un membru conține o variabilă, cum ar fi 2 ^ x, nu o atingeți, chiar dacă variabila "X" este o fracțională sau negativă.

Termeni similari și simplificați orice expresie rațională.

Metoda 3 din 6:

Scapă de fracțiunile sub semnul rădăcinii

Conform formei canonice de scriere a rădăcinii fracțiunilor trebuie să fie reprezentate sub forma rădăcinilor diviziunii întregi.

unu. Uită-te la radicand. Dacă este o rolă, mergeți la următorul pas.

2. Înlocuiți rădăcina raportului dintre cele două fracțiuni de rădăcini în conformitate cu următoarea identitate: √ (a / b) = √a / √b.

Nu utilizați această identitate, dacă numitorul este negativ sau include o variabilă care poate fi negativă. În acest caz, simplificați mai întâi o fracțiune.

3. Simplificați pătratele perfecte (dacă există). De exemplu, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Efectuați alte simplificări, cum ar fi, Simplificați fracțiunile constitutive, Termeni similari, și așa mai departe.

Metoda 4 din 6:

A scăpa de rădăcinile operațiunilor de multiplicare

unu. Dacă în ecuația prezintă operația de multiplicare pe rădăcina rădăcinii, combinați cele două expresii radicale sub un semn rădăcină Conform identității: √a * √b = √ (ab). De exemplu, √2 * √6 = √12.

Această identitate este valabilă numai când radicandele nu sunt negative. De exemplu, √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - este expresia din stânga este -1 (sau nu este specificată, dacă nu puteți lucra cu numere complexe) și expresia din dreapta este unul, adică identitatea nu este satisfăcută. Dacă "a" și / sau «b» este o valoare negativă, utilizați unitatea imaginară, care este desemnată ca I: √ (-5) = I * √5. Dacă starea semnului de problemă a radicului și nu este cunoscută (adică, poate fi pozitivă sau negativă) nu atingeți această expresie. Sau utilizați o identitate mai generală: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| AB |), care este efectuată pentru toate numerele valide "A" și "B" , dar, de regulă, nu este necesar să se complicăm soluția problemei datorită introducerii unei funcții permanente (SGN).
Această identitate se aplică numai atunci când rădăcinile au același grad. Pentru a multiplica rădăcinile cu grade diferite, trebuie mai întâi să le convertiți la rădăcini cu același grad. De exemplu, √5 * CUBE√7. A convertit temporar expresiile de alimentare în expresii cu indicatori fracționari: √5 * CUBE√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). Adică, sa dovedit rădăcina gradului 6 de la 6125.

Metoda 5 din 6:

A scăpa de multiplicatori care sunt pătrate pline

unu

Declar Numărul forat. Agricultorii sunt câteva numere atunci când se înmulțește pe care se obține numărul inițial. De exemplu, 5 și 4 sunt doi multiplicatori de numere 20. Dacă o rădăcină întregă nu poate fi scoasă din numărul trecut, răspândiți un astfel de număr pentru posibile multiplicatori și găsiți un pătrat complet între ele.

De exemplu, scrieți toți multiplicatori ai numărului 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 este un multiplicator 45 (9 x 5 = 45) și un pătrat complet (9 = 3 ^ 2).

2. Ia un multiplicator pentru semnul rădăcinii, care este un pătrat complet. 9 este un pătrat complet, deoarece 3 x 3 = 9. Scapă de 9 sub semnul rădăcinii și scrieți 3 înainte de semnul rădăcinii - sub semnul rădăcinii va rămâne 5. Dacă efectuați un număr 3 sub semnul rădăcinii, acesta va fi înmulțit cu el însuși și numărul 5, adică 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Astfel, 3√ 5 este o formă simplificată de înregistrare √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Găsiți un pătrat complet în expresia detașată cu variabila. Amintiți-vă: √ (a ^ 2) = | a |. O astfel de expresie poate fi simplificată la "a", dar numai dacă variabila are valori pozitive. √ (A ^ 3) poate fi descompus pe √a * √ (a ^ 2), deoarece atunci când multiplicarea acelorași variabile, indicatorii lor sunt pliați (a * a ^ 2 = a ^ 3).

Astfel, în expresia a ^ 3, un pătrat complet este un ^ 2.

4. Luați o variabilă pentru semnul rădăcinii, care este un pătrat complet. Scapi de un ^ 2 sub semnul rădăcinii și scrieți "A" înainte de semnul rădăcinii. Astfel, √ (a ^ 3) = A√a.

cinci. Dați acestor membri și simplificați orice expresie rațională.

Metoda 6 din 6:

Relieful de la rădăcinile din numitor (raționalizarea numitorului)

unu. Conform formei canonice numitor, Dacă este posibil, numai numerele întregi ar trebui să includă (sau polinomiale în cazul unei prezențe variabile).

Dacă numitorul este nerignit sub semnul rădăcinii, de exemplu, [Numerator] / √5, înmulți numitorul și numitorul la această rădăcină: ([Numerator] * √5) / (√5 * √5) = ([Numerator] * √5) / cinci.

În cazul rădăcinii cubice sau rădăcină un grad mai mare înmulți numitorul și numitorul la rădăcină cu o expresie montată în gradul corespunzător pentru a raționaliza numitorul. Dacă, de exemplu, în numitor, există un CUBE√5, înmulți numitorul și numitorul pentru CUBE√ (5 ^ 2).

Dacă numitorul este o expresie sub forma unei sume sau a diferenței în rădăcini pătrate, cum ar fi √2 + √6, înmulți numitorul și numitorul pentru o expresie conjugată, adică expresia cu semnul opus între membrii săi. De exemplu: [Numerator] / (√2 + √6) = ([Numerator] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Apoi, folosind formula diferenței pătrate ((a + b) (a-b) = a ^ 2 - b ^ 2) raționalizează numitorul: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Formula diferenței de pătrat poate fi aplicată și expresiei formularului 5 + √3, deoarece orice număr întreg este o rădăcină pătrată de la un alt număr întreg. De exemplu: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25-3) = (5 - √3) / 22

Această metodă poate fi aplicată la suma rădăcinilor pătrate, cum ar fi √5 - √6 + √7. Dacă grupul este o expresie în formă (√5 - √6) + √7 și înmulțiți-l cu (√5 - √6) - √7, nu scapați de rădăcini și obțineți o expresie a formei A + B * √30, unde "A și" B "- neobișnuit fără rădăcină. Apoi, expresia rezultată poate fi înmulțită cu conjugatul (A + B * √30) (A - B * √30), pentru a scăpa de rădăcini. Aceasta este, în cazul în care expresia duală, puteți folosi o dată pentru a scăpa de un anumit număr de rădăcini, ele pot fi folosite de câte ori pentru a scăpa de toate rădăcinile.

Această metodă este, de asemenea, aplicabilă rădăcinilor de gradul superior, de exemplu, expresia "Rădăcină 4 grad de 3 plus gradul de 7 grade de 9". În acest caz, înmulți numitorul și numitorul în exprimarea expresiei duale în numitor. Dar aici expresia duală va fi puțin diferită de cea descrisă mai sus. Despre acest caz poate fi citit în manuale pe algebră.

2. Simplificați număratorul după ce ați scăpat de rădăcinile din numitor. În numărător există un produs al expresiei originale și a expresiei conjugate. Deschideți paranteze, mutarea membrilor corespunzători. Dați termeni similari și, dacă este posibil, simplificați expresia rezultată.

3. Dacă numitorul este un număr negativ, multiplicați numitorul și numitorul cu -1, pentru ao transforma într-un număr pozitiv.

sfaturi

Pe Internet există resurse care simplifică automat radicandele. Trebuie doar să introduceți expresia rădăcinii pătrate și apăsați ENTER, pentru a afișa expresia simplificată.
La anumite sarcini simple, metodele descrise nu pot fi aplicate. În cazul unor sarcini complexe, aceste metode trebuie aplicate de mai multe ori. Pas cu pas simplifică prepararea expresiei și apoi verificați dacă răspunsul final este scris în forma canonică, criteriile pentru care sunt date la începutul acestui articol. Dacă răspunsul este prezentat în formă canonică, problema însoținută - altfel utilizează una dintre metode.
De regulă, forma canonică de înregistrare se aplică numerelor complexe (I = √ (-1)). Chiar dacă numărul complex este scris în forma I, nu rădăcina, este mai bine să scăpăm de I în numitor.
Unele metode descrise aici implică o muncă cu rădăcini pătrate. Principiile generale sunt aceleași pentru rădăcinile sau rădăcinile cubi de grade superioare, dar sunt destul de greu de aplicat unele metode (în special, metoda de raționalizare a numitorului). Mai mult decât atât, întrebați profesorul despre înregistrarea corectă a rădăcinilor (Cube√4 sau Cube√ (2 ^ 2)).
În unele secțiuni ale acestui articol, conceptul de "formă canonică" este folosit în mod corect - de fapt trebuie să vorbim despre "formularul standard". Diferența constă în faptul că forma canonică necesită înregistrarea fie forma 1 + √2, fie √2 + 1-standard înseamnă că ambele expresii (1 + √2 și √2 +1) sunt, fără îndoială, egale, chiar dacă sunt înregistrate în căi diferite. Aici, sub aritmetica "fără îndoială" (comutativă de adiție) și nu proprietăți algebrice (√2 este o rădăcină non-negativă a x ^ 2-2).
Dacă metodele descrise par a fi ambigue sau contrazice reciproc, efectuează acțiuni matematice consecvente și fără ambiguitate și scrie răspunsul pe măsură ce profesorul cere sau acceptat în manual.