Cum de a rezolva sarcini cu grade

Gradul este utilizat pentru a simplifica înregistrarea multiplicării numărului de ele însele. De exemplu, în loc de înregistrare $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ pot fi scrise $4 cinci$ $4 ^ {5}$ (O explicație a acestei tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Grade fac posibilă simplificarea scrierii expresiilor sau ecuațiilor lungi sau complexe, de asemenea, ușor pliate și scăzute, ceea ce duce la simplificarea expresiei sau a ecuației (de exemplu, $42 * 4^{3} = 4^{cinci}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Notă: Dacă trebuie să rezolvați ecuația orientativă (în această ecuație, necunoscutul este într-un indicator al amplorii), citiți Acest articol.

Pași

Metoda 1 din 3:

Soluția celor mai simple sarcini cu grade

unu. Terminologie. De exemplu, având în vedere o diplomă

23

$2 ^ {3}$ . Aici este 2 Fundația, și 3 este exponent. Număr

23

$2 ^ {3}$ exprimate astfel: două în gradul al treilea sau două în Cuba.

Dacă figura este prezentă 2, de exemplu, $cinci 2$ $5 ^ {2}$ , Apoi se numește un astfel de indicator Pătrat, Adică, exemplul nostru este exprimat astfel: cinci în pătrat.
Dacă cifra este prezentă 3, de exemplu, $103$ $10 ^ {3}$ , Apoi se numește un astfel de indicator Cuba, Adică, exemplul nostru este exprimat astfel: zece în Cuba.
Dacă numărul nu are un indicator al gradului, aceasta înseamnă că cifra este egală cu 1. De exemplu, $4 = 4 unu$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Orice număr (fracție, expresie) ridicată la gradul zero, egal cu 1, adică $40 = unu$ $4 ^ {0} = 1$ sau $(3 / opt)^{0} = unu.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Mai multe informații pot fi găsite în secțiunea "Sfaturi".

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 2

2. Înmulțiți fundamentul gradului în sine prin numărul de ori egal cu indicatorul gradului. Dacă trebuie să rezolvați manual sarcina cu grade, rescrieți gradul sub formă de operațiune de multiplicare, unde fundația gradului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere o diplomă

34

$3 ^ {4}$ . În acest caz, baza gradului 3 trebuie să fie înmulțită de 4 ori:

3 * 3 * 3 * 3

. Iată alte exemple:

4 cinci = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

opt 2 = opt * opt

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Zece în Cuba

= 10 * 10 * 10

Imagine intitulată Rezolvarea exponenților Pasul 3

3. Pentru a începe să multiplicați primele două numere. De exemplu,

4 cinci

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat, deoarece pare la prima vedere. Mai întâi multiplicați primele două patru și apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Asa:

4 cinci = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = şaisprezece

$4 cinci = şaisprezece * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 4

4. Înmulțiți rezultatul (în exemplul nostru 16) la următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va fi crescut proporțional. În exemplul nostru, multiplicați 16-4. Asa:

4 cinci = şaisprezece * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

şaisprezece * 4 = 64

$4 cinci = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 cinci = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Continuați să multiplicați rezultatul înmulțirea primelor două numere la următorul număr până când primiți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, schimbați primele două numere și apoi rezultatul este înmulțit cu următorul număr din secvență. Această metodă este valabilă pentru orice grad. În exemplul nostru ar trebui să obțineți: $4 cinci = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 5

cinci. Să decidă următoarele sarcini. Verificați verificarea cu calculatorul.

opt 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Imagine intitulată Rezolvarea exponenților Pasul 6

6. Pe calculator, găsiți cheia indicată ca "exp" sau "XN{ displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ ", Sau" ^ ". Cu această cheie veți ridica numărul în grad. Calculați întinderea cu un indicator mare imposibilă (de exemplu, gradul

nouă cincisprezece

$9 ^ {{15}}$ ), dar calculatorul face cu ușurință această sarcină. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul Inginerie - pentru acest clic "Vizualizare" -> "Inginerie". Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe "Vizualizare" -> "Normal".

Verificați răspunsul primit de Google. Profitând de tasta "^" de pe tastatura computerului, introduceți expresia în motorul de căutare, care afișează instantaneu răspunsul corect (și poate oferi expresii similare pentru a studia).

Metoda 2 din 3:

Adăugarea, scăderea, multiplicarea gradelor

unu. Pentru a plia și deduce gradele numai dacă au aceleași baze. Dacă aveți nevoie să adăugați grade cu aceleași baze și indicatoare, atunci puteți înlocui funcționarea adăugării operațiunii de multiplicare. De exemplu, expresia este dată

4 cinci + 4^{cinci}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Amintiți-vă că gradul

4 cinci

$4 ^ {5}$ pot fi reprezentate ca

unu * 4 cinci

$1 * 4 ^ {5}$ - prin urmare,

4 cinci + 4^{cinci} = unu * 4^{cinci} + unu * 4^{cinci} = 2 * 4^{cinci}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (unde 1 +1 = 2). Aceasta este, luați în considerare numărul de grade similare și apoi multiplicați o asemenea diplomă și acesta este numărul. În exemplul nostru, elaborați 4 în gradul al cincilea și apoi rezultatul obținut înmulțirea cu 2. Amintiți-vă că operația de adăugare poate fi înlocuită de operațiunea de multiplicare, de exemplu,

3 + 3 = 2 * 3

. Iată alte exemple:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$4 cinci + 4^{cinci} + 4^{cinci} = 3 * 4^{cinci}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$4 cinci - 4^{cinci} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 X 2 - 2 X^{2} = 2 X^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Imagine intitulată rezolva exponenții Pasul 8

2. Când multiplicarea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor sunt pliați (baza nu se schimbă). De exemplu, expresia este dată

X 2 * X^{cinci}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . În acest caz, trebuie doar să pliați indicatorii, lăsând baza neschimbată. Prin urmare,

X 2 * X^{cinci} = X^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Iată o explicație vizuală a acestei reguli:

X 2 * X^{cinci}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

X 2 = X * X

$x ^ {2} = x * x$

X cinci = X * X * X * X * X

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

X 2 * X^{cinci} = (X * X) * (X * X * X * X * X)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Deoarece baza se înmulțește de la sine, putem trimite acest lucru în următoarea formă:

X 2 * X^{cinci} = X * X * X * X * X * X * X

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$X 2 * X^{cinci} = X^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 9

3. Atunci când gradul este ridicat în grad, indicatorii sunt variabili. De exemplu, având în vedere o diplomă

(X 2)^{cinci}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Deoarece indicatorii de gradul sunt variabile, atunci

(X 2)^{cinci} = X^{2 * cinci} = X^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Semnificația acestei reguli este că înmulțiți gradul

(X 2)

$(x ^ {2})$ pentru sine de cinci ori. Asa:

(X 2)^{cinci}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{cinci} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2}

$(x {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Deoarece baza este aceeași, indicatorii de gradul se adaugă pur și simplu: $(X 2)^{cinci} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} = X^{10}$ $(x}}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Imagine intitulată rezolva exponenții Pasul 10

4. Gradul cu un indicator negativ trebuie transformat într-o fracțiune (în invers). Nu este probleme dacă nu știți ce invers. Dacă vi se oferă o diplomă cu un indicator negativ, de exemplu,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}}$ , Notați această diplomă în numitorul pantaloni (în numărator, locul 1) și face indicatorul pozitiv. În exemplul nostru:

\frac{unu}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Iată alte exemple:

cinci - 10 = \frac{unu}{cinci} 10

$5 ^ {{- 10}} = { frac {1} {5 ^ {{{10}}}}}$

3 X - 4 = \frac{3}{X} 4

$3x ^ {{- 4}} = { frac {3} {x ^ {4}}}$

Imagine intitulată rezolva exponenții Pasul 11

cinci. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor sunt deduceți (baza nu se schimbă). Operațiunea de divizare este opusul operației de multiplicare. De exemplu, expresia este dată

44 4^{2}

${ Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}}$ . Îndepărtați indicatorul gradului din numitor, de la indicatorul gradului în picioare în numerotare (nu schimbați baza). Prin urmare,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${{4}}} {4 {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = şaisprezece.

Gradul cu care se confruntă numitorul poate fi scris în această formă:

\frac{unu}{4} 2

${ Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}}$ . Amintiți-vă că fracțiunea este un număr (grad, expresie) cu un indicator negativ al gradului.

Imagine intitulată rezolva exponenții Pasul 12

6. Mai jos sunt câteva expresii care vă vor ajuta să învățați să rezolvați sarcini cu grade. Aceste expresii acoperă materialul stabilit în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, subliniați doar spațiul gol după semnul egalității.

cinci 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

X unu 2 - 2 X^{unu} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

y 3 * y

$y ^ {3} * y$ =

y 4

$y ^ {4}$ Amintiți-vă că orice număr este o diplomă cu un indicator 1

(Q 3)^{cinci}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

Q unu cinci

$Q ^ {1} 5$

R cinci R^{2}

R 3

$R ^ {3}$

Metoda 3 din 3:

Rezolvarea sarcinilor cu indicatori fracționari

unu. Gradul cu indicator fracționat (de exemplu, Xunu2{ displaystyle x ^ { frac {1} {2}}} $X ^ {{{{frac {1} {2}}}}$ ) este convertit în extracția rădăcinii. În exemplul nostru:

X \frac{unu}{2}

$X ^ {{{{frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Nu contează aici, ce număr este în numitorul indicatorului fracționat al gradului. De exemplu,

X \frac{unu}{4}

$X ^ {{{{frac {1} {4}}}}$ - Aceasta este rădăcina gradului al patrulea de la "X", adică

X 4

Funcționarea extracției rădăcinii se întoarce în raport cu funcționarea exercițiului. De exemplu, dacă rădăcina $X 4$ Construiți un grad al patrulea, atunci veți obține "x", precum și $şaisprezece 4 = 2$ Puteți verifica după cum urmează: $24 = şaisprezece$ $2 ^ {4} = 16$ . Un alt exemplu: dacă $X 4 = 2$ , apoi $24 = X$ $2 ^ {4} = x$ - prin urmare, $X = 2$ .

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 14

2. Dacă indicatorul este o fracțiune neregulată, atunci o astfel de măsură poate fi descompusă timp de două grade pentru a simplifica soluția problemei. Nu există nimic complicat în acest lucru - amintiți-vă doar regula de multiplicări în grade. De exemplu, având în vedere o diplomă

X \frac{cinci}{3}

$X ^ {{{{frac {5} {3}}}}$ . Transformați o astfel de măsură la rădăcină, gradul de care va fi egal cu numitorul indicatorului fracționat, apoi luați această rădăcină la gradul egal cu numărul de splitter. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că

\frac{cinci}{3}

(\frac{unu}{3}) * cinci

. În exemplul nostru:

X \frac{cinci}{3}

$X ^ {{{{frac {5} {3}}}}$

X \frac{cinci}{3} = X^{cinci} * X^{\frac{unu}{3}}

$x ^ {{{{{5}} = x ^ {5} * x ^ {{{{{{{{{{{}}}}}$

X \frac{unu}{3} = X 3

$x ^ {{{{frac {1}} = { sqrt [{3}] {x}}$

X \frac{cinci}{3} = X^{cinci} * X^{\frac{unu}{3}}

$x ^ {{{{{5}} = x ^ {5} * x ^ {{{{{{{{{{{}}}}}$ = $(X 3)^{cinci}$ $({ Sqrt [{3}] {x}}) ^ {5}$

Imagine intitulată rezolva exponenți Pasul 15

3. Indicatori fracționari fold, scădere și prelungit pentru regulile generale. Este mai ușor să adăugați și deduceți indicatori fracționați înainte de a converti grade în rădăcini sau în numere. Dacă diplomele sunt date cu aceleași baze și indicatori, ei dezvoltă și deduce în conformitate cu regulile generale. Dacă gradele sunt date numai cu aceleași baze, vă puteți înmulți și împărțiți-le (numai dacă vă amintiți Reguli de adăugare și scădere a fracțiunilor). De exemplu:

X \frac{cinci}{3} + X^{\frac{cinci}{3}} = 2 (X^{\frac{cinci}{3}})

$X ^ {{{{{5}} + x {{{{{{{} {3}}} = 2 (x ^ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ FRAC {5} {3}} }})$

X \frac{cinci}{3} * X^{\frac{2}{3}} = X^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{{{5}} * x} {{{{{{{{{{} {2} {3}}} = x ^ {{{{{{{{{7}}}}$

sfaturi

Simplificarea expresiei este de ao aduce la o astfel de formă (utilizând îndeplinirea operațiunilor matematice), care este mai ușor de rezolvat.
Pe unele calculatoare există un buton pentru a calcula grade (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi apăsați butonul, apoi introduceți indicatorul). Acesta este notat ca ^ sau x ^ y.
Amintiți-vă că orice număr în gradul I în mod egal pentru dvs., de exemplu, $4 unu = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ În plus, orice număr înmulțit sau împărțit la unul este egal cu el însuși, de exemplu, $cinci * unu = cinci$ și $cinci / unu = cinci$ .
Știți că gradul 0 nu există (acest grad nu are o soluție). Când încercați să rezolvați o astfel de diplomă pe calculator sau pe computer, veți obține o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr din zero este egal cu 1, de exemplu, $40 = unu.$ $4 ^ {0} = 1$
În cea mai înaltă matematică, care operează cu numere imaginare: $E A I X = C O S A X + I S I N A X$ $E ^ {a} ix = Cosax + Isinax$ , Unde $I = \sqrt{(} - unu)$ - E - constant, aproximativ egal cu 2.7 și - constantă arbitrară. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică mai mare.

Avertizări

Cu o creștere a indicatorului gradului, valoarea sa crește. Deci, dacă răspunsul pare greșit, de fapt el poate fi credincios. Puteți să o verificați prin construirea unui program de orice funcție indicativă, de exemplu, 2.