Cum să înțelegeți algebra (cu ilustrații)

La început, algebra poate părea subiect complex. Dar dacă creați o bază de cunoștințe matematice inițiale și să învățați câteva concepte algebrice, acest element vă va oferi mult mai ușor. Pentru a rezolva orice sarcină algebrică, trebuie să efectuați o serie de operațiuni consecutive necomplicate. În acest caz, sarcina inițială este dată acestei forme că este foarte ușor de rezolvat.

Pași

Partea 1 din 5:

Definirea obiectivelor

unu. Citiți cu atenție starea sarcinii. Este necesar să aflați ce trebuie făcut în această sarcină. Acordați atenție cuvântului cheie "decide", "simplificați", "descompune" sau "tăiat". Aceste cuvinte sunt cel mai adesea găsite în condițiile sarcinilor (deși există altele). Amintiți-vă că nu trebuie să "decideți" sarcina dacă este obligată să "simplificați".

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 2

2. Urmați acțiunile corespunzătoare. Prin cuvinte cheie în starea de sarcină puteți determina ce acțiuni trebuie să fie efectuate. Nu pierdeți timpul pentru acțiunile care nu trebuie să fie efectuate în această sarcină. Principalele acțiuni sunt:

Rezolva. Aici este necesar să găsiți o soluție numerică reală, de exemplu, valoarea variabilei X = 4.

Simplifica. Aici, ecuația inițială (sau inegalitatea) trebuie rescrisă într-o formă mai simplă, dar nu este necesară soluția numerică (valoarea variabilă).

Descompune multiplicatorii. Această acțiune este similară cu cea "simplificare" și este de obicei aplicată polinomilor și fracțiilor complexe. Aici, o expresie algebrică (sau un număr) trebuie să fie descompusă pe un număr de multiplicatori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus pe multiplicatorii de 3x4- în mod similar cu multiplicatorii pot fi decompus polinom algebric.

De exemplu, expresie

cinci X

pot fi descompuse pe multiplicatori

cinci

și

X

De exemplu, expresie

X 2 + 3 X + 2

$x ^ {2} + 3x + 2$ pot fi descompuse pe multiplicatori

(X + 2)

și

(X + unu)

A tăia. Aici trebuie să scăpați de unii membri ai expresiei pentru a înregistra expresia inițială într-o formă mai simplă. Reducerea include descompunerea multiplicatorilor și simplificării. Trebuie să se descompună numitorul și denominatorul. Apoi găsiți aceiași membri în numerotare și denominatori și le tăiați. Expresia rezultată va fi o formă "abreviată" a expresiei inițiale. De exemplu, reduceți expresia

6 X 2 2 X

${ Frac {6x ^ {2}} {2x}} {2x}}$ În felul următor:

unu. Răspândiți numitorul și numitorul pe multiplicatori:

(3) (2) (X) (X) (2) (X)

2. Găsiți aceiași membri. În numărător și numitor sunt "2" și "x".

3. Reduceți aceiași membri:

(3) (2) (X) (X) (2) (X)

4. Notați expresia abreviată:

3 X

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 3

3. Amintiți-vă diferența dintre "expresia" și "ecuația". În algebră, diferența dintre "expresia" și "ecuația" este foarte semnificativă. Expresia este orice grup de numere și variabile asociate cu operațiile matematice. Câteva exemple de expresii:

X 2

$x ^ {2}$ ,

paisprezece X y Z

și

\sqrt{2 X + cincisprezece}

. Expresia poate fi descompusă pe multiplicatori, simplifică, reduce, dar nu rezolvă. Ecuația include în mod necesar semnul egalității "=". Ecuația poate fi descompusă pe multiplicatori, simplifică, reduce și decide, adică o soluție numerică.

De exemplu, dacă este dată expresia

4 X 2

$4x ^ {2}$ , Nu veți obține o singură soluție numerică. Ați putea găsi că dacă

X = unu

, Apoi expresia este de 4 și dacă

X = 2

, Această expresie este egală

(4) (2) 2

$(4) (2) ^ {2}$ = 16. Dar singura soluție nu va fi (răspunsul).

Partea 2 din 5:

Ordinea operațiunilor

unu. Amintiți-vă de procedura corectă pentru efectuarea operațiunilor matematice. În algebră, absolut toate operațiunile matematice sunt efectuate într-o anumită ordine. Iată-l:

acțiune în paranteze;
exercițiu;
multiplicare;
Divizia;
plus;
scădere.

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 5

2. Mai întâi efectuați operații în paranteze. Dacă se administrează expresia sau ecuația, unii membri sunt închise în paranteze, trebuie mai întâi să efectuați operații în paranteze. Luați în considerare diferența dintre expresii

cinci * 3 + 2

și

cinci * (3 + 2)

Prima expresie (fără paranteze):

cinci * 3 + 2

cincisprezece + 2 = 17

A doua expresie (cu paranteze):

cinci * (3 + 2)

cinci * cinci = 25

(Aici mai întâi pliam 3 + 2 = 5).

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 6

3. Următoarea erecție la gradul. Exercițiul este un al doilea pas în ordinea corectă a operațiunilor. De exemplu, expresia este dată

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$ . Dacă nu urmați ordinea operațiunilor, trebuie mai întâi să multiplicați:

3 * 2 = 6

, și apoi construiți un pătrat: 6 ^ 2 = 36, dar veți obține rezultatul greșit. Iată cum să găsiți o decizie corectă:

3 * 2 2

$3 * 2 ^ {2}$

3 * 4

(mai întâi erect în piață).

12

(Acesta este rezultatul corect).

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 7

4. Înmulțiți sau împărțiți pornirea din stânga. Când vă ridicați ceva în grad, efectuați operațiuni de multiplicare și divizare - începeți din partea stângă a expresiei.

3 + 4 * 2 - 6 / 3

3 + opt - 2

, unde 4 * 2 = 8 și 6/3 = 2.

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 8

cinci. Ori sau deduce pornirea din stânga. Tot ce rămâne de făcut este de a deduce sau de a plia membrii expresiei, începeți pe partea stângă a expresiei. De exemplu, expresia este dată

4 + 2 - 3 - unu - cinci + 2

4 + 2 - 3 - unu - cinci + 2

6 - 3 - unu - cinci + 2

(pliate 4 + 2)

3 - unu - cinci + 2

(dedus 6-3)

2 - cinci + 2

(dedus 3-1)

- 3 + 2

(dedus 2-5)

- unu

(pliate -3 + 2)

Dacă efectuați operațiuni într-o altă comandă, veți obține un rezultat incorect. De exemplu, să presupunem că mai întâi toți pliați și apoi dedusă:

4 + 2 - 3 - unu - cinci + 2

6 - 3 - unu - 7

(4 + 2 și 5 + 2)

3 - unu - 7

(dedus 6-3)

2 - 7

(dedus 3-1)

- cinci

(Gheață 2-7. A primit rezultatul -5, care este incorect)

Partea 3 din 5:

Lucrul cu variabile

unu. Utilizați alte caractere decât numerele. Când ați început să învățați matematica, ați lucrat doar cu numere. În algebra trebuie să puteți rezolva ecuații cu membrii necunoscuți. În ecuații, membrii necunoscuți sunt reprezentați prin scrisori numite variabile. Tratați astfel de scrisori cu privire la numere, deși încă nu cunoașteți valorile lor reale. Iată cele mai comune variabile:

Litere latine, cum ar fi $X$ , $Y$ și $Z$ ;
Scrisori grecești cum ar fi $θ$ , $α$ și $Σ$ .
Unele caractere sunt similare cu variabilele, dar nu sunt chiar așa. De exemplu, litera greacă π desemnează numărul PI, a cărui valoare este cunoscută: 3,1415.

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 10

2. Luați în considerare variabila ca număr necunoscut. De exemplu, dacă se spune "două înmulțite cu un număr", poate fi scris ca o expresie

2 * X

. Variabil

X

Înlocuiește un număr necunoscut ("un număr"). În cele mai multe sarcini algebrice trebuie să găsiți valoarea variabilei.

De exemplu, ecuația este dată

4 + X = nouă

. Aici este necesar să aflați ce număr aveți nevoie pentru a adăuga la 4 pentru a obține 9. Răspunsul este numărul 5 care poate fi scris ca

X = cinci

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 11

3. Aduce (fold sau deduce) membri similari (identici) (în aceste variabile). Dacă luăm în considerare variabilele ca numere, ele pot fi pliate și deduse. O astfel de acțiune se numește "aducerea unor astfel de membri".

De exemplu, ecuația este dată

2 X + 3 X = 10

. În ea, două variabile sunt adăugate la cele trei în aceeași variabilă și toată expresia este de 10.Dacă aveți două și trei obiecte identice, ele pot fi pliate. În exemplul nostru

2 X + 3 X

= 5x, deci ecuația inițială va fi înregistrată după cum urmează:

cinci X = 10

, Și soluția este așa:

X = 2

Puteți determina numai aceleași variabile (identice). Amintiți-vă că, în unele ecuații, există mai multe variabile diferite. De exemplu, în ecuație

2 X + 3 Y = 10

Variabile

X

și

Y

Este imposibil să se plieze, deoarece acestea sunt diferite, adică înlocuirea diferitelor numere necunoscute.

Partea 4 din 5:

Operații inverse

unu. Amintiți-vă ce este o operațiune inversă (acțiune inversă). Operațiunile inverse joacă un rol important în algebră. Opusul înseamnă opusul. Acțiunile inverse vă permit să simplificați sarcina. De exemplu, dacă sarcina are o operațiune de multiplicare, utilizați o diviziune care este o acțiune inversă pentru a multiplica pentru a rezolva sarcina.

Adresa de operare inversă - scăderea.
Operațiunea inversă pentru scădere - adăugare.
Operațiunea inversă pentru multiplicare - Divizia.
Operațiunea inversă - multiplicare.
Operațiunea inversă pentru stabilirea - extragerea rădăcinii (rădăcină pătrată, rădăcină cubică și așa mai departe).

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 13

2. Izolați variabilele. Dacă trebuie să "decideți" ecuația, aceasta înseamnă că este necesar să veniți la egalitate

X =

__, unde în loc de un gol, există un număr. Profitați de operațiile matematice la variabil

X

a rămas pe o parte a ecuației, iar toți ceilalți membri sunt pe cealaltă parte a ecuației. Acest lucru se poate face folosind operații inverse.

Amintiți-vă: orice operație pe care o efectuați pe o parte a ecuației trebuie efectuată pe cealaltă parte. Numai astfel valoarea ecuației sursei nu se va schimba.

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 14

3. Scapa de numere pozitive folosind operarea de scădere (și invers). Dacă se adaugă un număr în ecuația variabilă, scapi de ea utilizând o operație inversă pentru a izola variabila.

De exemplu, în ecuație

X + 3 = 7

Trebuie să izolați o variabilă

X

. Membru invers K

+ 3

este un penis

- 3

. Amintiți-vă că orice operațiune trebuie efectuată pe ambele părți ale ecuației. Asa de:

X + 3 = 7

X + 3 - 3 = 7 - 3

(detectat 3 pe ambele părți ale ecuației)

X = 4

(3-3 = 0)

Un exemplu de altă ecuație cu scăderea:

X - opt = 12

X - opt + opt = 12 + opt

(a adăugat 8 la ambele părți ale ecuației)

X = douăzeci

(8-8 = 0)

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 15

4. Scapa de numărul care este înmulțit cu variabila utilizând operațiunea de divizare (și invers). De exemplu, un membru

3 X

Puteți scrie astfel:

3 * X

. Pentru a izola variabila, aplicați operația de divizare. Nu uitați să împărțiți ambele părți ale ecuației.

Luați în considerare ecuația

3 X = 24

. Aici 3 se înmulțește cu "x", așa că vom împărtăși:

3 X = 24

3 X 3 = \frac{24}{3}

${ Frac {3x} {3}} = { frac {24} {3}}$ (Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3. Vă rugăm să rețineți că simbolul de fisiune

\div

De obicei, nu este utilizat în algebră - membrii ecuației / expresiei sunt înregistrate ca o fracțiune.)

X = opt

(În fracțiunea din stânga 3 din numărator și 3 în numitor sunt reduse)

Luați în considerare o altă ecuație cu Divizia

\frac{X}{4} = nouă

\frac{X}{4} = nouă

\frac{X}{4} * 4 = nouă * 4

(Înmulțiți ambele părți ale ecuației la 4)

X = 36

(În fracțiunea din stânga 4 din numărator și 4 în numitor sunt reduse)

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 16

cinci. Utilizați o combinație de adaos / scădere și multiplicare / diviziuni. Dacă este dată o sarcină mai complexă, va trebui să efectuați mai multe operații pentru a izola variabila. Aplicați mai întâi adăugarea sau scăderea pentru a izola variabila cu coeficientul. Apoi, folosind multiplicarea sau diviziile, scapă de coeficientul pentru a găsi o soluție.

3 X + cinci = 23

3 X + cinci - cinci = 23 - cinci

(mai întâi deduce 5 de la ambele părți ale ecuației)

3 X = 18

(5-5 = 0)

3 X 3 = \frac{18}{3}

${ Frac {3x} {3}} = { frac {18} {3}}$ (Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3)

X = 6

(În fracțiunea din stânga 3 din numărator și 3 în numitor sunt reduse)

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 17

6. Verificați rezultatul. Pentru a afla dacă ați rezolvat corect ecuația, verificați răspunsul primit. Pentru acest rezultat, înlocuiți (în loc de o variabilă) în ecuația inițială. Dacă se observă egalitatea, soluția este corectă.

În exemplul nostru

3 X + cinci = 23

Am aflat ca

X = 6

. În loc de înlocuitorul "X" 6:

3 X + cinci = 23

3 (6) + cinci = 23

(Submold valoarea

X = 6

)

18 + cinci = 23

(Simplificați ecuația)

23 = 23

(Egalitatea este observată, deci

X = 6

este decizia corectă)

Partea 5 din 5:

Crearea unei baze de cunoștințe matematice

unu. Învață să te bucuri de operațiuni matematice de bază. Algebra este un sistem de lucru cu numere și operații matematice, care este necesar pentru rezolvarea problemelor. Studierea algebrei, trebuie să cunoașteți regulile de bază pentru a rezolva problemele. Pentru a afla regulile, trebuie să înțelegeți bine și să puteți aplica operațiuni matematice de bază, cum ar fi adăugarea, scăderea, multiplicarea și diviziunea. În special, trebuie să puteți:

Desfășurați rapid și deduce numerele fără ambiguitate - amendă, dacă știți cum să lucrați cu numere de două cifre;
cunoașteți masa de multiplicare de la 1 la 12;
Cunoașteți divizoarele și multiplicatorii de numere până în prezent 144 (12x12).

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 19

2. Aflați regulile de acțiune cu fracțiunile. În algebra de acțiune cu fracțiunile apar foarte des. Trebuie să puteți găsi un numitor comun, pliați și deduceți fracțiunea, precum și înmulțiți-le și împărțiți-le. Aflați baza de acțiune cu fracțiunile, astfel încât să învățați să rezolvați ecuațiile cu fracțiunile.

Verificați feedbackul. Aceasta este o fracțiune în care numărătorul și numitorul se schimbă în locuri. Adică, restrângerea pentru

\frac{2}{3}

este an

\frac{3}{2}

, si pentru

\frac{4}{cinci}

fracțiune

\frac{cinci}{4}

. Fracțiunile inverse sunt utilizate în loc de împărțirea operațiunii în sarcini complexe. În loc de a împărți fracția, înmulțiți-l la invers.

Imagine intitulată Înțelege Algebra Pasul 20

3. Învață să lucrezi cu numere negative. Numerele negative și variabilele se găsesc în sarcini foarte des. Trebuie să puteți adăuga, să scadă, să multiplicați și să împărtășiți numere și variabile negative pentru a înțelege algebra. Mai jos sunt câteva reguli de bază pentru a lucra cu numere negative.

Pe Numeric direct Distanța de la zero la un număr negativ este aceeași cu cea pozitivă, numai această distanță este măsurată spre stânga.

Dacă rotiți două numere negative, veți obține un număr negativ pe care pe o linie numerică se află de la zero (decât fiecare dintre numerele pliate).

Două "minus" dau "plus". Adică scăderea unui număr negativ este echivalentă cu adăugarea unui număr pozitiv.

4 - (- 3) pot fi scrise astfel: 4 + 3 = 7.

Multiplicarea sau divizarea a două numere negative oferă un număr pozitiv.

Multiplicarea sau împărțirea unui număr pozitiv și un număr negativ conferă un număr negativ.

sfaturi

În mod constant învață. Vizitați lecții / prelegeri și efectuați sarcini cool / audit și teme. Amintiți-vă: Pentru a înțelege algebra, trebuie să practici în mod regulat în rezolvarea problemelor.
Comunicați cu profesorul / profesorul. Dacă aveți întrebări sau dificultăți, contactați-vă profesorul / profesorul. Unele algebre sunt ușor date, iar altele nu sunt foarte. Cel mai probabil, profesorul / profesorul va găsi o modalitate de a vă explica subiectul disponibil. Nu renunta - mai bine cere ajutor.
Verificați întotdeauna răspunsul. Când decideți ecuația, valoarea sa dovedit a înlocui în ecuația inițială pentru a verifica răspunsul.
Amintiți-vă că, dacă o altă pereche de paranteze sunt închise în paranteze, mai întâi urmați pașii din paranteze interne și apoi în paranteze exterioare.