Cum să împărțiți logaritmii: 11 pași (cu ilustrații)

Acțiunile cu logaritmii pot părea destul de complicate, dar, ca și în cazul caracteristicilor sau polinomilor Powerual, este necesar să se cunoască doar regulile de bază. Ele sunt destul de puțin: pentru a împărți logaritmii cu aceeași bază sau pentru a descompune logaritmul privat, este suficient să folosiți câteva proprietăți principale ale logaritmilor.

Pași

Metoda 1 din 2:

Cum de a partaja logaritmul manual

unu. Verificați dacă nu există numere negative sau o unitate sub semnul logaritmului. Această metodă este aplicabilă expresiilor formularului

Buturuga B (X) Buturuga B (A)

${ Frac { log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}}$ . Cu toate acestea, nu este potrivit pentru anumite ocazii speciale:

Logaritmul unui număr negativ nu este definit la nici o bază (de exemplu, $Buturuga (- 3)$ sau $Buturuga 4 (- cinci)$ $log _ {{4}} (- 5)$ ). În acest caz scrieți "Nu există nicio decizie".
Logaritm zero în orice motiv nu este de asemenea definit. Dacă ați prins $Ln (0)$ , scrie "Nu există nicio decizie".
Unități de logaritm din orice motiv ( $Buturuga (unu)$ ) întotdeauna egal cu zero deoarece $X 0 = unu$ $x ^ {{0}} = 1$ Pentru toate valorile X. Notați în loc de un astfel de logaritm 1 și nu utilizați metoda de mai jos.
Dacă logaritmii au, de exemplu, baze diferite $L O G 3 (X) L O G 4 (A)$ ${ Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{{}} (a)}}$ , și nu reduceți întregul, valoarea expresiei nu poate fi găsită manual.

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 2

2. Convertiți o expresie la un logaritm. Dacă expresia nu se aplică cazurilor speciale de mai sus, acesta poate fi reprezentat ca un logaritm. Utilizați pentru aceasta următoarea formulă:

Buturuga B (X) Buturuga B (A) = {Buturuga}_{A} (X)

${{B Log} (x)} { log _ {{b}} (a)}} = log _ {{a}} (x)$ .

Exemplul 1: Luați în considerare expresia

Buturuga şaisprezece Buturuga 2

.
Pentru a începe, vom trimite o expresie sub forma unui logaritm cu ajutorul formulei de mai sus:

Buturuga şaisprezece Buturuga 2 = {Buturuga}_{2} (şaisprezece)

${ Frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {{2}} (16)$ .

Această formulă "Înlocuirea bazei" Logaritmul este derivat din principalele proprietăți ale logaritmilor.

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 3

3. Dacă este posibil, calculați manual valoarea expresiei. A găsi

Buturuga A (X)

$log _ {{a}} (x)$ , Imaginați-vă o expresie "

A ? = X

$A ^ {{?}} = X$ ", Adică puneți următoarea întrebare: "În ce măsură trebuie să construiți A, A obtine X?". Pentru a răspunde la această întrebare, poate fi necesar un calculator, dar dacă aveți noroc, îl puteți găsi manual.

Exemplul 1 (continuare): rescrie

Buturuga 2 (şaisprezece)

$Log _ {{2}} (16)$ la fel de

2 ? = şaisprezece

$2 ^ {{{?}} = 16$ . Este necesar să găsiți ce număr ar trebui să stea în loc de semn "?". Acest lucru se poate face prin eșantioane și erori:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = opt

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = opt * 2 = şaisprezece

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Deci, numărul dorit este de 4:

Buturuga 2 (şaisprezece)

$Log _ {{2}} (16)$ = 4.

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 4

4. Lăsați răspunsul în formă logaritmică dacă nu reușiți să o simplificați. Mulți logaritmi sunt foarte greu de calculat manual. În acest caz, pentru a obține un răspuns precis, veți avea nevoie de un calculator. Cu toate acestea, dacă decideți sarcina în lecție, atunci profesorul este probabil să satisfacă răspunsul în formă logaritmică. Mai jos, metoda examinată este utilizată pentru a rezolva un exemplu mai complex:

Exemplul 2: Ce este egal

Buturuga 3 (58) Buturuga 3 (7)

${ Frac { log _ {{3} (58)} { log _ {{3}} (7)}}$ ?

Transformăm această expresie într-un singur logaritm:

Buturuga 3 (58) Buturuga 3 (7) = {Buturuga}_{7} (58)

${ Frac { log _ {{3} (58)} {{3}} {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Rețineți că baza pentru ambele logaritmii ₃ dispare - acest lucru este adevărat din orice motiv.

Rescrie o expresie în formă

7 ? = 58

$7 ^ {{}} = 58$ și încercați să găsiți o valoare ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Deoarece 58 este între aceste două numere,

Buturuga 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ nu este exprimată într-un număr întreg.

Lăsați un răspuns în formă logaritmică:

Buturuga 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ .

Metoda 2 din 2:

Cum să găsiți un logaritm privat

unu. Luați în considerare cazul în care logaritmul este privat (fracție). Această secțiune este dedicată expresiilor tipului

Buturuga A (\frac{X}{y})

$log _ {{a}} ({ frac {x} {y}})$ .

Să presupunem că trebuie să rezolvați următoarea sarcină:
"Găsiți n la care $Buturuga 3 (27 6 N) = - 6 - {Buturuga}_{3} (6)$ $log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$ ".

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 6

2. Verificați dacă nu există un număr negativ sub semnul logaritmului. Logaritmul unui număr negativ nu este definit. Dacă x sau y sunt negative, asigurați-vă că sarcina are o soluție înainte de a continua să caute:

Dacă X sau y mai puțin zero, sarcina nu are nicio soluție.

Dacă ambii Numerele x și y sunt negative, reduc semnul minus:

- X - y = \frac{X}{y}

${ Frac {xx} {- y}} = { frac {x} {y}}$ .

În exemplul de mai sus, nu există numere negative sub semnul logaritmului, astfel încât să puteți merge la următorul pas.

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 7

3. Răspândiți logaritmul privat pe două logaritm. O altă proprietate utilă a logaritmilor este descrisă de următoarea formulă:

Buturuga A (\frac{X}{y}) = {Buturuga}_{A} (X) - {Buturuga}_{A} (y)

$log _ {{a}} ({} {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{A}} (y)$ . Cu alte cuvinte, logaritmul privat este întotdeauna egal cu diferența dintre logaritmii diviziei și divizorului.

Folosim această formulă pentru a descompune partea stângă a egalității:

Buturuga 3 (27 6 N) = {Buturuga}_{3} (27) - {Buturuga}_{3} (6 N)

$Log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n)$

Vom înlocui expresia în egalitatea noastră:

Buturuga 3 (27 6 N) = - 6 - {Buturuga}_{3} (6)

$log _ {{3}} ({ frac {27} {6N}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$
→

Buturuga 3 (27) - {Buturuga}_{3} (6 N) = - 6 - {Buturuga}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6N) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 8

4. Dacă este posibil, simplificați expresia. Dacă logaritmii rezultați sunt reprezentați de numere întregi, puteți simplifica expresia.

În exemplul nostru a apărut un nou membru:

Buturuga 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ . De la 3 = 27, în schimb

Buturuga 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ pot fi înlocuite 3.

Ca rezultat, obținem următoarea expresie:

3 - Buturuga 3 (6 N) = - 6 - {Buturuga}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6N) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 9

cinci. O valoare necunoscută separată. Ca și în cazul altor ecuații algebrice, se recomandă transferarea sumei dorite într-o singură direcție, iar toți ceilalți membri sunt în cealaltă parte a ecuației. În același timp, combinați membrii similari pentru a simplifica ecuația.

3 - Buturuga 3 (6 N) = - 6 - {Buturuga}_{3} (6)

$3- log _ {{3}} (6N) = - 6- log _ {{3}} (6)$

nouă - Buturuga 3 (6 N) = - {Buturuga}_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6N) = - log _ {{3}} (6)$

Buturuga 3 (6 N) = nouă + {Buturuga}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 10

6. Dacă este necesar, utilizați alte proprietăți ale logaritmilor. În cazul nostru, o valoare necunoscută este sub semnul logaritmului. Pentru al separa de alți membri, ar trebui să utilizați Alte proprietăți ale logaritmului.

În exemplul nostru N parte a celor compuse

Buturuga 3 (6 N)

$Log _ {{3}} (6n)$ .
A separa N, Folosim următoarea proprietate a logaritmilor:

Buturuga A (B C) = {Buturuga}_{A} (B) + Buturuga A (C)

$log _ {{a}} (BC) = log _ {{A}} (b) + log {A} (c)$

Buturuga 3 (6 N) = {Buturuga}_{3} (6) + {Buturuga}_{3} (N)

$Log _ {{3}} (6n) = log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n)$

Înlocuiți această cantitate de logaritmi în expresia noastră:

Buturuga 3 (6 N) = nouă + {Buturuga}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6N) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Buturuga 3 (6) + {Buturuga}_{3} (N) = nouă + {Buturuga}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Imagine intitulată Divide Logaritms Pasul 11

7. Continuați să simplificați expresia până când primiți răspunsul. Utilizați pentru această algebră de regulă și proprietățile logaritmilor. Dacă răspunsul nu este exprimat într-un număr întreg, utilizați calculatorul și în jurul rezultatului la cel mai apropiat număr semnificativ.

Buturuga 3 (6) + {Buturuga}_{3} (N) = nouă + {Buturuga}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Buturuga 3 (N) = nouă

Din 3 = 19683, N = 19683 .