Cum de a rezolva ecuațiile cu rădăcină (cu ilustrații)

Deși simbolul rădăcină înspăimântător și poate face un om crânge, nu puternic în matematică, sarcinile cu rădăcină pătrată nu sunt atât de dificil, deoarece par a fi mai întâi. Simpla sarcini cu rădăcină pătrată sunt adesea rezolvate la fel de ușor ca sarcini convenționale cu multiplicare sau diviziune. Pe de altă parte, sarcinile mai complexe pot necesita un efort, dar cu abordarea corectă, chiar și ei nu vă vor citi. Începeți să rezolvați sarcinile cu rădăcina de astăzi pentru a afla această abilitate matematică radicală nouă!

Pași

Partea 1 din 3:

Înțelegerea pătratelor de numere și rădăcini pătrate

unu. Construiți un număr într-un pătrat, multiplicându-l singur. Pentru a înțelege rădăcinile pătrate, este mai bine să începeți cu pătrate de numere. Pătratele numerelor sunt destul de simple: construcția numărului într-un pătrat înseamnă înmulțirea acestuia singură. De exemplu, 3 în pătrat este același ca 3 × 3 = 9, iar 9 în pătrat este același cu 9 × 9 = 81. Pătratele sunt marcate cu scrierea unui număr mic "2" la dreapta deasupra numărului ridicat. Exemplu: 3, 9, 100, și așa mai departe.

Încercați să construiți câteva numere la piață pentru a încerca acest concept. Amintiți-vă, erecția numărului într-un pătrat înseamnă că acest număr ar trebui să se înmulțească de la sine. Acest lucru se poate face chiar și pentru numere negative. În acest caz, rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. De exemplu: -8 = -8 × -8 = 64.

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 2

2. Când vine vorba de rădăcini pătrate, atunci există un proces invers de construire a unui pătrat. Simbolul rădăcinii (√, se numește și radical) înseamnă în mod esențial opusul simbolului . Când vedeți un radical, trebuie să vă întrebați: "Ce număr poate fi multiplicat de la sine pentru a obține un număr sub rădăcină?". De exemplu, dacă vedeți √ (9), atunci trebuie să găsiți numărul care, când suntem în piață, ar da un număr nouă. În cazul nostru, acest număr va fi trei, deoarece 3 = 9.

Luați în considerare un alt exemplu și găsiți rădăcina de 25 (√ 25)). Aceasta înseamnă că trebuie să găsim un număr pe care în piață ne-a dat 25 de ani. Deoarece 5 = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.

De asemenea, vă puteți gândi la aceasta ca o "revocare" a construcției pătratului. De exemplu, dacă trebuie să găsim √ (64), rădăcina pătrată 64, atunci să ne gândim la asta, ca la 8. Deoarece simbolul rădăcinii "anulează" construcția pătratului, putem spune că √ (64) = √ (8) = 8.

Imagine intitulată rezolva probleme de rădăcină pătrată Pasul 3

3. Cunoașteți diferența dintre construcția ideală și nu perfectă în piață. Până în prezent, răspunsurile la sarcinile noastre cu rădăcina au fost numere bune și rotunde, dar nu este întotdeauna așa. Sarcinile rădăcinilor pătrate Răspunsurile pot fi numere foarte lungi și incomode, cu o fracțiune zecimală. Numere ale căror rădăcini sunt numere întregi (cu alte cuvinte, numerele care nu sunt fracte) se numesc pătrate complete. Toate exemplele menționate mai sus (9, 25 și 64) sunt pătrate complete, deoarece rădăcina lor va fi un număr întreg (3,5 și 8).

Pe de altă parte, numerele pe care în timpul construcției rădăcinii nu dau un număr întreg, se numesc pătrate incomplete. Dacă puneți unul din aceste numere sub rădăcină, atunci veți primi un număr cu o fracțiune zecimală. Uneori, un astfel de număr poate fi foarte lung. De exemplu, √ (13) = 3,605551275464...

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 4

4. Amintiți-vă primele 1-12 pătrate complete. După cum probabil ați observat deja, găsiți o rădăcină plină de pătrat este destul de ușoară! Datorită faptului că aceste sarcini sunt atât de simple, merită să ne amintim rădăcinile primei duzini de pătrate complete. Nu veți întâlni încă o dată aceste numere, astfel încât să vă petreceți puțin timp să vă amintiți mai devreme și să economisiți timp în viitor.

1 = 1 × 1 = unu

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = nouă

4 = 4 × 4 = şaisprezece

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 5

cinci. Simplificați rădăcinile prin îndepărtarea pătratelor complete de la acesta, dacă este posibil. Găsiți o rădăcină pătrată incompletă poate fi uneori ușoară, mai ales dacă nu utilizați un calculator (în secțiunea de mai jos veți găsi mai multe trucuri, cum să faceți acest proces mai ușor). Cu toate acestea, este adesea posibilă simplificarea numărului sub rădăcină, astfel încât este mai ușor să lucrați cu acesta. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să împărțiți numărul sub rădăcina asupra factorilor, apoi găsiți rădăcina multiplicatorului, care este un pătrat complet și îl scrie în afara rădăcinii. Este mai ușor decât pare. Citiți lângă mai multe informații.

Să presupunem că trebuie să găsim o rădăcină pătrată 900. La prima vedere, pare destul de severă! Cu toate acestea, nu va fi atât de greu dacă împărțim numărul 900 pentru multiplicatori. Agricultorii sunt numere care se înmulțesc reciproc pentru a da un număr nou. De exemplu, numărul 6 poate fi obținut, înmulțind 1 × 6 și 2 × 3, multiplicatorii săi vor fi numerele 1, 2, 3 și 6.

În loc să caute rădăcina numărului 900, care este puțin dificilă, să bem 900, ca o multiplicare de 9 × 100. Acum că numărul 9, care este un pătrat complet, separat de 100, își putem găsi rădăcina. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Cu alte cuvinte, √ (900) = 3√ (100).

Putem chiar să mergem și mai mult, împărțind 100 la două factor, 25 și 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Prin urmare, putem spune că √ (900) = 3 (10) = 30

Imagine intitulată Rezolvarea problemelor rădăcinii pătrate Pasul 6

6. Utilizați numere imaginare pentru a găsi rădăcina numărului negativ. Întrebați-vă ce număr la înmulțire va da -16? Nu este 4 și nu -4, deoarece construcția acestor numere în piață ne va da un număr pozitiv 16. Predat? De fapt, nu există nici o modalitate de a scrie rădăcină -16 sau orice alt număr negativ de numere obișnuite. În acest caz, trebuie să înlocuim numerele imaginare (de obicei sub formă de litere sau caractere), astfel încât acestea să fie în loc de rădăcina numărului negativ. De exemplu, variabila "i" este de obicei folosită pentru a construi o singură rădăcină. De regulă, rădăcina unui număr negativ va fi întotdeauna un număr imaginar (sau inclus în IT).

Știu că, deși numerele imaginare nu pot fi reprezentate de numerele convenționale, ele pot fi tratate în continuare ca atare. De exemplu, o rădăcină pătrată a unui număr negativ poate fi ridicată într-un pătrat pentru a da aceste numere negative, ca orice altă rădăcină pătrată. De exemplu, i = -unu

Partea 2 din 3:

Utilizarea unui algoritm de diviziune pincibil

unu. Scrieți sarcina cu rădăcina ca sarcina de a împărți pe coloană. Deși poate dura destul de mult timp, astfel încât să puteți rezolva problema cu rădăcina pătratelor incomplete, fără a recurge la ajutorul calculatorului. Pentru a face acest lucru, vom folosi soluția (sau algoritmul), care este similar (dar nu exact același lucru) pe diviziunea obișnuită de către coloană.

Pentru a începe cu, scrieți sarcina cu rădăcina în aceeași formă ca atunci când împărțiți o coloană. Să presupunem că vrem să găsim rădăcina pătrată a numărului 6.45, care este cu siguranță un pătrat complet. Mai întâi scriem simbolul obișnuit pătrat, iar apoi sub el vom scrie un număr. Apoi, tragem o linie deasupra numărului, astfel încât să se dovedească într-o mică "cutie", precum și atunci când împărțiți o coloană. După aceea, vom avea o rădăcină cu o coadă lungă și un număr de 6,45 sub ea.
Deasupra rădăcinii vom scrie numere, deci asigurați-vă că părăsiți acolo.

Imagine intitulată rezolvarea problemelor rădăcinii pătrate Pasul 8

2. Numerele grouper pe perechi. Pentru a începe rezolvarea sarcinii, este necesar să grupați numărul numărului de sub perechea de perechi, pornind de la punctul în fracțiunea zecimală. Dacă doriți, puteți face semne mici (cum ar fi puncte, linie oblică, virgule etc.) între perechi, astfel încât să nu se confunde.

În exemplul nostru, trebuie să împărțim numărul 6.45 perechilor după cum urmează: 6-, 45-00. Vă rugăm să rețineți că cifra "rămasă" este prezentă spre stânga - acest lucru este normal.

Imagine intitulată rezolvarea problemelor rădăcinilor pătrate Pasul 9

3. Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu primul "grup". Începeți din prima zi sau pereche din stânga. Alegeți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu restul "grup". De exemplu, dacă grupul a fost egal cu 37, ați alege numărul 6, deoarece 6 = 36 < 37> 37. Notați acest număr deasupra primului grup. Va fi prima cifră a răspunsului dvs.

În exemplul nostru, primul grup de 6-, 45-00 va fi numărul 6. Cel mai mare număr pe care în pătrat va fi mai mic sau egal cu 6 este 2 = 4. Scrieți un număr 2 peste numărul 6, care este sub rădăcină.

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 10

4. Dublu doar numere scrise, apoi coborâți sub rădăcină și scoateți-vă. Luați prima cifră a răspunsului dvs. (numărul pe care tocmai l-ați găsit) și dublați-l. Notați rezultatul în primul grup și luați-vă pentru a găsi diferența. Coborâți următoarele câteva numere lângă răspuns. În cele din urmă, scrieți la stânga ultima cifră dublând prima cifră a răspunsului dvs. și rămâneți în apropiere.

În exemplul nostru, vom începe cu dublarea cifrelor 2, care este prima cifră a răspunsului nostru. 2 × 2 = 4. Apoi luăm 4 din 6 (primul nostru "grup"), primind 2. Apoi omitem următorul grup (45) pentru a obține 245. Și în cele din urmă, în stânga, vom scrie încă 4 din nou, lăsând la capăt un spațiu mic, astfel: 4_

Imagine intitulată rezolvarea problemelor rădăcinii pătrate Pasul 11

cinci. Umple spațiul. Apoi, trebuie să adăugați o cifră în partea dreaptă a numărului înregistrat care este lăsat. Selectați o cifră, deplasându-vă cu numărul dvs. nou, veți obține cel mai important rezultat, dar care ar fi mai puțin sau egal cu "omistul" ". De exemplu, dacă numărul dvs. "coborât" este de 1700, iar numărul dvs. din stânga este de 40_, este necesar să scrieți o cifră la cifra 4, ca 404 × 4 = 1616 < 1700>

În exemplul nostru, trebuie să găsim numărul și să-l scriem în golurile 4_ × _, ceea ce va face răspunsul cât mai mult posibil, dar este încă mai mic sau egal cu 245. În cazul nostru, aceasta este o figură de 5. 45 × 5 = 225, în timp ce 46 × 6 = 276

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 12

6. Continuați să utilizați numerele "goale" pentru a găsi răspunsul. Continuați să rezolvați această diviziune modificată după coloană până când începeți să primiți zerouri atunci când scădeți un număr "coborât" sau până când obțineți nivelul dorit de precizie de răspuns. Când terminați, numerele pe care le-ați folosit pentru a umple golurile din fiecare pas (plus primul număr) vor fi numărul răspunsului dvs.

Continuând exemplul nostru, luăm 225 de la 245 pentru a obține 20 de ani. Apoi, vom coborî următoarea pereche de numere, 00 pentru a obține 2000. Dublarea numărului de deasupra rădăcinii. Avem 25 × 2 = 50. Rezolvarea unui exemplu cu spații, 50_ × _ = /< 2>

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 13

7. Deplasați punctul de fracție zecimal înainte de numărul inițial de "diviziune". Pentru a finaliza răspunsul dvs., trebuie să puneți un punct zecimal în locul potrivit. Din fericire, faceți-o destul de ușoară. Tot ce trebuie să faceți este să o aliniați în raport cu punctul original. De exemplu, dacă numărul de 49,8 va sta sub rădăcină, va trebui să puneți un punct între două cifre peste cele nouă și opt.

În exemplul nostru, sub radical, există un număr de 6,45, așa că vom deplasa pur și simplu punctul și punem-o între numerele 2 și 5 în răspunsul nostru, primind un răspuns egal cu 2,539.

Partea 3 din 3:

Calculul rapid al pătratelor incomplete

unu. Găsiți pătrate incomplete prin calcularea acestora. Când vă amintiți pătrate complete, căutarea rădăcinii pătratelor incomplete va fi mult mai ușoară. Din moment ce știți deja o duzină de pătrate complete, orice număr care cade în zona dintre aceste două pătrate complete poate fi găsit, minimalizați totul la calculul aproximativ între aceste valori. Începeți cu căutarea a două pătrate complete, între care este numărul dvs. Apoi, determinați care dintre aceste numere este mai aproape.

De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim o rădăcină pătrată a numărului 40. De când ne-am amintit piețele pline, putem spune că numărul 40 este între 6 și 7, numerele 36 și 49. Din 40 mai mult de 6, rădăcina sa va fi mai mare de 6, iar deoarece este mai mică de 7, rădăcina sa va fi, de asemenea, mai mică de 7. 40 este puțin mai aproape de 36 de 49, astfel încât răspunsul este probabil să fie puțin mai aproape de 6. În următorii pași, SuZim răspunsul nostru.

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 15

2. Calculați rădăcina pătrată până la primul semn după punctul zecimal. După ce selectați două pătrate complete, între care este localizat numărul dvs., totul coboară la calculul dvs. până când obțineți răspunsul dorit. Cu cât calculați mai mult, cu atât mai precis va fi răspunsul dvs. Începeți cu faptul că selectați unde să puneți un punct de fracție zecimală în răspunsul dvs. Nu ar trebui să fie sigur că este adevărat, dar veți economisi timp dacă utilizați logica și puneți punctul cât mai aproape de răspunsul corect.

În exemplul nostru, o estimare rezonabilă a rădăcinii pătrate a numărului 40 poate fi de 6.4, deoarece, pe baza informațiilor de mai sus, știm că răspunsul este mai aproape de 6 de 7.

Imagine intitulată rezolva problemele rădăcinilor pătrate Pasul 16

3. Multiplicați numărul aproximativ de sine. Următorul lucru pe care trebuie să-l faceți este să ridicați un număr aproximativ într-un pătrat. Nu sunteți cel mai probabil norocos și nu veți obține numărul original. Va fi un pic cam mare, fie puțin mai mic. Dacă rezultatul dvs. este prea mare, încercați din nou, dar cu un număr aproximativ aproximativ mai mic (și dimpotrivă, dacă rezultatul este prea mic).

Înmulțiți 6.4 în sine, și veți obține 6,4 × 6,4 = 40,96, ceea ce este puțin mai mult pentru numărul original.

Deoarece răspunsul nostru sa dovedit a fi mai mult, trebuie să mulăm înmulți un număr de o zecime mai puțin pentru aproximare și obțineți următoarele: 6,3 × 6,3 = 39,69. Este puțin mai puțin pentru numărul inițial. Aceasta înseamnă că rădăcina pătrată 40 este între 6,3 și 6,4. Și din nou, ca 39,69 mai aproape de 40 de 40,96, știm că rădăcina pătrată va fi mai aproape de 6,3 decât până la 6.4.

Imagine intitulată rezolva probleme de rădăcină pătrată Pasul 17

4. Continuați calculul. În acest stadiu, dacă sunteți mulțumit de răspunsul dvs., puteți pur și simplu să luați prima valoare estimată. Cu toate acestea, dacă doriți să obțineți un răspuns mai precis, tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare aproximativă cu două semne de fracție zecimală care pune această valoare aproximativă între primele două numere. Continuând această numărare, puteți obține trei, patru și mai multe punct și virgulă pentru răspunsul dvs. Totul depinde de cât de departe doriți să mergeți.

În exemplul nostru, să alegem 6.33 ca o valoare aproximativă cu două plăci zecimale. Înmulțiți 6.33 de la sine pentru a obține 6,33 × 6,33 = 40,0689. Deoarece este puțin mai mult decât numărul nostru, vom lua numărul mai mic, de exemplu, 6.32. 6.32 × 6,32 = 39.9424. Acest răspuns este puțin mai mic decât numărul nostru, așa că știm că rădăcina exactă pătrată este între 6,32 și 6,33. Dacă am vrut să continuăm, vom continua să folosim aceeași abordare pentru a obține un răspuns care să devină mai precis și mai precis.

sfaturi

Pentru a găsi rapid soluții, utilizați calculatorul. Cele mai moderne calculatoare pot găsi instantaneu o rădăcină pătrată a numărului. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți numărul dvs., apoi faceți clic pe butonul cu semnul rădăcinii. De exemplu, pentru a găsi rădăcina 841, va trebui să apăsați 8, 4, 1 și (√). Ca rezultat, veți primi răspunsul 39.