Cum se face o diagramă a unei ecuații pătrate: 10 pași

Programul Ecuației pătrate a AX + BX + C sau A (X - H) + K este o parabolă (curba în formă de U). Pentru a construi un grafic al unei astfel de ecuații, este necesar să se găsească partea superioară a parabolei, a direcției sale și a punctelor de intersecție cu axele X și Y. Dacă vi se oferă o ecuație pătrată relativ simplă, atunci puteți înlocui diferite valori ale "X", pentru a găsi valorile corespunzătoare "Y" și pentru a construi un program.

Pași

unu. Ecuația pătrată poate fi înregistrată în formă standard și în formă non-standard. Puteți utiliza orice fel de ecuație pentru a construi o grafică de ecuație pătrată (metoda de construcție este ușor diferită). De regulă, în sarcini, ecuațiile pătrate sunt date într-o formă standard, dar acest articol vă va spune despre ambele tipuri de înregistrare a ecuației pătrate.

Aspect standard: F (x) = AX + BX + C, unde A, B, C - Numere valide și A ≠ 0.

De exemplu, două ecuații standard: f (x) = x + 2x + 1 și f (x) = 9x + 10x -8.

Aspect non-standard: f (x) = a (x - h) + k, unde a, h, k - numere valide și un ≠ 0.

De exemplu, două ecuații non-standard: F (x) = 9 (x - 4) + 18 și -3 (x - 5) + 1.

Pentru a construi un grafic al unei ecuații pătrate de orice fel, trebuie mai întâi să găsiți un vârf de pearabol, care are coordonate (H, K). Coordonatele vârfurilor de pearabol din ecuațiile de vizualizare standard sunt calculate utilizând formulele: H = -B / 2A și K = F (H) - coordonatele vârfului de pearabol din ecuațiile speciilor non-standard pot fi obținute direct de la ecuațiile.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 2

2. Pentru a construi un grafic, este necesar să se găsească valorile numerice ale coeficienților A, B, C (sau A, H, K). În cele mai multe sarcini, ecuațiile pătrate sunt date cu valori numerice ale coeficienților.

De exemplu, în ecuația standard F (x) = 2x + 16x + 39 A = 2, B = 16, C = 39.

De exemplu, într-o ecuație non-standard F (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 3

3. Calculați H în ecuația standard (în non-standard este deja dată) cu formula: H = -b / 2a.

În exemplul nostru al ecuației standard F (x) = 2x + 16x + 39 H = -B / 2A = -16/2 (2) = -4.

În exemplul nostru al unei ecuații non-standard (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.

Imagine intitulată Graph O etapă patrată de ecuație 4

4. Calculați k în ecuația standard (în non-standard este deja dată). Amintiți-vă că k = f (h), adică găsiți k, înlocuind valoarea H în ecuația originală în loc de "x".

Ați găsit că H = -4 (pentru ecuația standard). Pentru a calcula k, înlocuiți această valoare în loc de "x":

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

În ecuația non-standard K = 12.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 5

cinci. Aplicați un vârf cu coordonate (H, K) pe planul de coordonate. H este amânată de-a lungul axei X și K - de-a lungul axei y. Partea de sus a parabolei este fie cel mai mic punct (dacă parabola este îndreptată), fie punctul superior însuși (dacă parabola este îndreptată).

În exemplul nostru de ecuație standard, vârful are coordonate (-4, 7). Aplicați acest punct pe planul de coordonare.

În exemplul nostru de ecuație nestandard, vârful are coordonate (5, 12). Aplicați acest punct pe planul de coordonare.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 6

6. Petreceți axa parabolelor de simetrie (opțional). Axa de simetrie trece prin partea superioară a parabolei paralele cu axa Y (care este, strict verticală). Axa de simetrie împarte parabola în jumătate (adică parabola este oglindă simetrică cu această axă).

În exemplul nostru de ecuație standard, axa simetriei este o axă dreaptă, paralelă și trecând prin punctul (-4, 7). Deși acest lucru este direct și nu face parte din parabola în sine, aceasta oferă o idee despre simetria parabolei.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 7

7. Determinați direcția parabolei sau în jos. Este foarte ușor de făcut. Dacă coeficientul "A" este pozitiv, atunci parabola este îndreptată în sus și dacă coeficientul "A" este negativ, atunci parabola este îndreptată în jos.

În exemplul nostru de ecuație standard F (x) = 2x + 16x + 39 Parabola este îndreptată, deoarece a = 2 (coeficient pozitiv).

În exemplul nostru de o ecuație non-standard F (x) = 4 (x - 5) + 12 parabola este, de asemenea, regizată, deoarece a = 4 (coeficient pozitiv).

Imagine intitulată Graph O etapă patrată de ecuație 8

opt. Dacă este necesar, găsiți și aplicați punctele de intersecție cu axa X. Aceste puncte vă vor ajuta la construirea parabolei. Pot exista două, una sau nu una (dacă parabola este îndreptată în sus, iar partea de sus este deasupra axei X, sau dacă parabola este îndreptată, iar vârful său este sub axa X). Pentru a calcula coordonatele punctelor de intersecție cu axa, urmați acești pași:

Echivalează ecuația cu zero: f (x) = 0 și să decidă. Această metodă funcționează cu ecuații simple pătrate (în special specii non-standard), dar poate fi extrem de dificilă în cazul ecuațiilor complexe. În exemplul nostru:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (X - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. Punctul de intersecție al parabolei cu axa X au coordonate (11,0) și (13.0).

Răspândiți ecuația pătrată a unui formular standard pe multiplicatori: AX + BX + C = (DX + E) (FX + G), unde DX × FX = AX (DX × G + FX × E) = BX, E × G = C. Apoi egalizați fiecare bicicletă la 0 și găsiți valorile "x". De exemplu:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

În acest caz, există un singur punct de intersecție a parabolei cu axa X cu coordonate (-1,0), deoarece la x + 1 = 0 x = -1.

Dacă nu puteți descompune ecuația pe multiplicatori, decideți-o cu ajutorul unei formule pentru calcularea rădăcinilor ecuației pătrate: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.

De exemplu: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- √ (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) și (-15,18 / -10). Punctul de intersecție al parabolei cu axa X au coordonate (-1,318,0) și (1,518,0).

În exemplul nostru de standard de 2x + 16x + 39 ecuații:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)

x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Deoarece este imposibil să extrageți o rădăcină pătrată de la un număr negativ, atunci în acest caz parabola nu intersectează axa x.

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 9

nouă. Dacă este necesar, găsiți și aplicați punctele de intersecție cu axa Y. Este foarte ușor - înlocuiți X = 0 la ecuația inițială și găsiți valoarea "y". Punctul de intersecție cu axa Y este întotdeauna singur. Notă: În ecuațiile de vizualizare standard, punctul de intersecție are coordonate (0, c).

De exemplu, ecuația Parabola pătrată 2x + 16x + 39 intersectează cu axa Y la un punct cu coordonate (0, 39), deoarece C = 39. Dar poate fi calculată:

f (x) = 2x + 16x + 39

F (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, adică parabola acestei ecuații pătrate intersectează cu axa Y la punctul cu coordonate (0, 39).

În exemplul nostru de ecuație a speciilor non-standard4 (x - 5) + 12, punctul de intersecție cu axa Y este calculat după cum urmează:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

F (x) = 112, adică parabola acestei ecuații pătrate intersectează cu axa Y la punctul cu coordonate (0, 112).

Imagine intitulată Graph O etapă de ecuație patrată 10

10. Ați găsit (și ați tratat) partea de sus a parabolei, direcția și punctele de intersecție cu axele x și y. Puteți construi parabolele pe aceste puncte sau găsiți și aplicați puncte suplimentare și numai apoi construiți o parabolă. Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai multe valori ale "X" (pe ambele părți ale vârfului) în ecuația inițială pentru a calcula valorile corespunzătoare ale "y".

Să revenim la ecuația X + 2x + 1. Știți deja, punctul de intersecție al programului acestei ecuații cu axa X este punctul cu coordonate (-1,0). Dacă parabola are doar un punct de intersecție cu axa X, atunci acesta este partea de sus a parabolei situate pe axa X. În acest caz, un punct nu este suficient pentru a construi parabola potrivită. Prin urmare, găsiți câteva puncte suplimentare.

Să presupunem că x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

X = 0: F (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Coordonatele punctului: (0,1).

X = 1: F (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Coordonatele punctului: (1.4).

X = -2: F (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Coordonatele punctului: (-2.1).

X = -3: F (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Coordonatele punctului: (-3.4).

Aplicați aceste puncte pe planul de coordonare și construiți o parabolă (conectați vederile curbei în formă de U). Vă rugăm să rețineți că parabola este absolut simetrică - orice punct pe o singură ramură a parabolelor poate fi oglindit (în raport cu axa simetriei) pe cealaltă ramură a parabolei. Prin aceasta, veți economisi timp, deoarece nu trebuie să calculați coordonatele punctelor de pe ambele ramuri ale parabolei.

sfaturi

Numerele fracționare rotunde (dacă aceasta este cerința unui profesor) - astfel încât să construiți parabola potrivită.
Dacă în F (x) = ax + bx + coeficienții b sau c sunt zero, atunci nu există membri cu acești coeficienți în ecuație. De exemplu, 12x + 0x + 6 se transformă în 12x + 6, deoarece 0x este 0.