Cum de a rezolva ecuațiile trigonometrice: 8 pași

Ecuația trigonometrică conține una sau mai multe funcții trigonometrice ale variabilei "X" (sau orice altă variabilă). Soluția ecuației trigonometrice este găsirea unei astfel de valori "x", care satisface funcțiile (funcțiilor) și ecuația în general.

Soluțiile ecuațiilor trigonometrice sunt exprimate în grade sau radiani. Exemple:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 gradeh = 37.12 Degreesh = 178,37 grade.

Notă: Valorile funcțiilor trigonometrice din unghiuri exprimate în radiani și din unghiuri exprimate în grade sunt egale. Cercul trigonometric cu o rază egală cu unul, servește pentru a descrie funcțiile trigonometrice, precum și pentru a verifica corectitudinea soluției principalelor ecuații trigonometrice și inegalități.
Exemple de ecuații trigonometrice:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1,732;
Cos 3x + păcat 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Cercul trigonometric cu o rază egală cu un singur cerc).
Acesta este un cerc cu o rază egală cu una și centrul la punctul o. Un singur cerc descrie 4 funcții trigonometrice de bază ale variabilei "x", unde "x" este un unghi numit din direcția pozitivă a axei X în sens invers acelor de ceasornic.
Dacă "X" este un unghi pe un singur cerc, atunci:
Axa orizontală a OAH definește funcția f (x) = compi.
Axa verticală a lui Ovy definește funcția f (x) = păcatul x.
Axa verticală la definește funcția f (x) = tg x.
Axa orizontală a BU determină funcția f (x) = ctg x.

Cercul unității este utilizat și în rezolvarea principalelor ecuații trigonometrice și inegalități (există diferite prevederi ale "X").

Pași

unu. Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, convertiți-o în una sau mai multe ecuații trigonometrice principale. Soluția ecuației trigonometrice este în cele din urmă redusă la rezolvarea a patru ecuații trigonometrice principale.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 2

2. Soluția principalelor ecuații trigonometrice.

Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:

Păcat x = a-cos x = a

Tg x = a-ctg x = a

Soluția principalelor ecuații trigonometrice implică luarea în considerare a diferitelor prevederi ale "x" pe un singur cerc, precum și utilizarea unei tabele de conversie (sau a calculatorului).

Exemplul 1. SIN X = 0,866. Folosind tabelul de conversie (sau calculatorul), veți primi răspunsul: x = π / 3. Un singur cerc dă un alt răspuns: 2π / 3. Amintiți-vă: Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor sunt repetate. De exemplu, frecvența SIN X și COS X este 2πn, iar frecvența TG X și CTG X este egală cu πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Exemplul 2. COS X = -1/2. Folosind tabelul de conversie (sau calculatorul), veți primi răspunsul: x = 2π / 3. Cercul unic oferă un alt răspuns: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Exemplul 3. Tg (x - π / 4) = 0.

Răspuns: x = π / 4 + πn.

Exemplul 4. Ctg 2x = 1,732.

Răspuns: x = π / 12 + πn.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 3

3. Transformarea utilizată în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pentru a transforma ecuațiile trigonometrice, se utilizează transformări algebrice (descompunerea pe multiplicatori, aducând membri omogeni și t.D.) și trigonometrii.

Exemplul 5. Folosind identități trigonometrice, Sin X + Sin 2x + Sin 3x = 0 Ecuația este convertită la 4COS X * SIN Ecuație (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Astfel, trebuie rezolvate următoarele ecuații trigonometrice principale: COS X = 0 - SIN (3X / 2) = 0- COS (X / 2) = 0.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 4

4. Găsirea colțului valorilor cunoscute ale funcțiilor.

Înainte de a studia metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice, trebuie să învățați cum să găsiți colțuri în funcție de valorile cunoscute ale funcțiilor. Acest lucru se poate face folosind o masă de conversie sau de calculator.

Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Un singur cerc va da colțuri suplimentare ale căror cosine este egală cu 0,732.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 5

cinci. Postula decizia cu privire la un singur cerc.

Puteți amâna ecuația de configurare solidă a unui singur cerc. Soluțiile ecuației trigonometrice pe un singur cerc sunt noduri ale poligonului corect.

Exemplu: Soluții x = π / 3 + πn / 2an Un singur cerc sunt noduri ale unui pătrat.

Exemplu: Soluții x = π / 4 + πn / 35 Un singur cerc este vârfurile hexagonului corect.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 6

6. Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Dacă această ecuație trigonometrică conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați această ecuație ca principala ecuație trigonometrică. Dacă această ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, există 2 metode pentru rezolvarea unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării sale).

Metoda 1.

Convertiți această ecuație cu ecuația formei: f (x) * g (x) * h (x) = 0, unde f (x), g (x), h (x) - principalele ecuații trigonometrice.

Exemplul 6. 2COS X + SIN 2X = 0.(0 < x>

Soluţie. Folosind formula unui unghi dublu SIN 2X = 2 * SIN X * COS, înlocuiți păcatul 2x.

2SSS X + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Acum decideți cele două ecuații principale trigonometrice: COS X = 0 și (SIN X + 1) = 0.

Exemplul 7.COS X + COS 2X + COS 3X = 0.(0 < x>

Soluție: Utilizarea identităților trigonometrice, ecuația convertită la ecuația formei: cos 2x (2COS X + 1) = 0. Acum decideți cele două ecuații trigonometrice principale: cos 2x = 0 și (2COS X + 1) = 0.

Exemplul 8.SIN X - SIN 3X = COS 2X .(0 < x>

Soluție: Utilizarea identităților trigonometrice, ecuația convertită la ecuația tipului: -COS 2x * (2sin x + 1) = 0. Acum decideți cele două ecuații trigonometrice principale: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.

Metoda 2.

Convertiți această ecuație trigonometrică la o ecuație care conține doar o funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică la unele necunoscute, de exemplu, t (păcat x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t și t și t și t și t și t și t și t și t și t și t și t și t.D.).

Exemplul 9. 3SIN ^ 2 x - 2COS ^ 2 x = 4SIN X + 7 (0 < x>

Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos ^ 2 x) pe (1 - Sin ^ 2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:

3SIN ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN X - 7 = 0. Înlocuiți păcatul x pe t. Acum ecuația este: 5T ^ 2 - 4T - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătrată având două rădăcini: T1 = -1 și T2 = 9/5. A doua rădăcină T2 nu îndeplinește valorile valorilor funcției (-1 < sin>

Exemplul 10. Tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2

Soluţie. Înlocui x pe t. Rescrieți ecuația inițială în formularul de mai jos: (2M + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Acum găsiți t, apoi găsiți x pentru t = tg x.

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 7

7. Ecuații trigonometrice speciale.

Există mai multe ecuații trigonometrice speciale care necesită transformări specifice. Exemple:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

A * SIN ^ 2 x + B * SIN X * COS X + C * COS ^ 2 x = 0

Imagine intitulată rezolva ecuațiile trigonometrice Pasul 8

opt. Periodicitatea funcțiilor trigonometrice.

Așa cum am menționat mai devreme, funcțiile extrarigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă după o anumită perioadă. Exemple:

Funcția funcțională (x) = Sin x este 2π.

Funcția funcțională (x) = Tg X este egală cu π.

Funcția funcțională (x) = păcat 2x este egală cu π.

Funcția funcțională (x) = cos (x / 2) este de 4π.

Dacă perioada este specificată în sarcină, calculați valoarea "x" în această perioadă.

Notă: Soluția de capital trigonometric - o sarcină dificilă care duce adesea la erori. Prin urmare, verificați cu atenție răspunsurile. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza un calculator grafic pentru a construi un grafic al acestei ecuații R (x) = 0. În astfel de cazuri, soluțiile vor fi prezentate sub formă de fracțiuni zecimale (adică π se înlocuiește cu 3.14).