Cum de a descompune polinomii multifuncționali (ecuația pătrată)

Polinomul conține o variabilă (x), ridicată într-o măsură și mai mulți membri și / sau membri liberi. Descompunerea polinomilor asupra multiplicatorilor - împărțirea acesteia în polinoame scurte și simple, care se înmulțesc reciproc. Abilitatea de a răspândi polinomul la multiplicatori necesită cunoștințe și abilități matematice suficiente.

Pași

Metoda 1 din 7:

Pașii primari

unu. Scrieți ecuația. Forma standard a ecuației pătrate:

AX + BX + C = 0
Aranjați membrii începând cu cea mai înaltă ordine. Luați în considerare un exemplu:

6 + 6x + 13x = 0
Dați această ecuație cu forma standard a unei ecuații pătrate (pur și simplu prin schimbarea locurilor membre):

6x + 13x + 6 = 0

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 2

2. Răspândiți pe multiplicatori folosind una din metodele de mai jos. Descompunerea polinomilor pe multiplicatori este o divizare a acesteia la polinoame scurte și simple care se înmulțesc reciproc.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
În acest exemplu, Bicked (2x +3) și (3x + 2) sunt multiplicatori ai polinomului inițial 6x + 13x + 6.

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 3

3. Verificați lucrarea prin înmulțirea membrilor și adăugarea acelorași membri (similari).

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(unde 4 și 9x sunt membri similari). Astfel, am descompus în mod corespunzător un polinom la multiplicatori, deoarece cu multiplicarea lor am primit polinomul original.

Metoda 2 din 7:

Soluții de soluții și de eroare

Dacă vi se oferă un polinom destul de simplu, puteți descompune independent pe multiplicatori. De exemplu, matematicienii cu experiență pot determina imediat ce polinom 4x + 4x + 1 Are multiplicatori (2x + 1) și (2x + 1). (Notă, această metodă nu va fi atât de simplă atunci când se descompune un polinom mai complex.) Luați în considerare un exemplu:

3x + 2x - 8

unu. Notați perechea de factori de coeficienți A și C. Folosind expresia vizualizării AX + BX + C = 0, Determinați coeficienții A și C. În exemplul nostru

A = 3 și multiplicatori: 1 * 3
C = -8 și multiplicatori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 5

2. Scrieți două perechi de paranteze cu spații, în loc de care au găsit membrii liberi:

(x) (x)

Imagine intitulată Factorul de gradul II Polinoame (ecuații patrate) Pasul 6

3. Față X Puneți o pereche de factori pentru coeficient A. În exemplul nostru, un astfel de cuplu este doar unul:

(3x) (1x)

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 7

4. După X Pune o pereche de multiplicatori cu. Să presupunem că luăm 8 și 1. Primim:

(3xopt) (Xunu)

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 8

cinci. Decideți ce semn de a pune între X și numere (membri liberi). În funcție de semnele din ecuația sursă, puteți defini semne în fața membrilor liberi. Denotă membrii liberi în multiplicatori de bickins H și K:

Dacă AX + BX + C, apoi (X + H) (X + K)
Dacă toporul este BX - C sau AX + BX - C, apoi (X - H) (X + K)
Dacă AX - BX + C, apoi (X - H) (X - K)
În exemplul nostru 3x + 2x - 8, prin urmare (x - h) (x + k) și

(3x + 8) (X - 1)

Imagine intitulată Polinomii de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 9

6. Verificați rezultatele prin deplasarea expresiilor în paranteze. Dacă cel de-al doilea membru este deja (de la variabila x) incorect (indiferent negativ sau pozitiv), nu ați ales perechea multiplicatorilor C.

(3x + 8) (X - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8Thafter, când multiplicarea multiplicatorilor, obținem o expresie care nu este egală cu cea inițială înseamnă că nu am ales perechea de factori.

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 10

7. Schimbați un cuplu de multiplicatori C. În exemplul nostru, luați 2 și 4 în loc de 1 și 8.

(3x + 2) (x - 4)
Acum C = -8. Cu toate acestea (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, adică acum B = -10x și în ecuația inițială B = 2x (a greșit B).

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 11

opt. Modificați procedura pentru multiplicatori. Schimbăm locurile 2 și 4:

(3x + 4) (X - 2)
C Ce ar trebui să fie (4 * -2 = -8). -6x + 4x Dați-ne valoarea corectă (2x), dar semnul greșit în fața lui (-2x în loc de + 2x).

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 12

nouă. Schimbați semnele. Procedura pentru membrii din paranteze lasă la fel, dar schimbarea semnelor:

(3x - 4) (x + 2)
C Ceea ce ar trebui să fie (-8) și

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xDupă cum este necesar. Astfel, am găsit factorii potriviți ai ecuației inițiale.

Metoda 3 din 7:

Soluție prin descompunere

Folosind această metodă, puteți defini toți factorii coeficienților A și C și le folosiți atunci când găsiți multiplicatori ai acestei ecuații. Dacă numerele sunt mari sau obosite de ghici, utilizați în acest fel. Luați în considerare un exemplu:

6x + 13x + 6

unu. Multiplicați coeficientul A (6 în exemplul nostru) pe coeficient C (de asemenea 6 în exemplul nostru).

6 * 6 = 36

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 14

2. Găsiți coeficientul B Descompunerea multiplicatorilor și verificarea ulterioară. Căutăm două numere care, înmulțește, dau un rezultat egal cu rezultatul multiplicării A * C (în exemplul nostru 36) și când adăugarea va da un rezultat egal cu coeficientul B (în exemplul nostru 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Imagine cu titlu Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 15

3. Înlocuiți două numere găsite în ecuația sursă ca o sumă (care este egală B). Denotă numerele găsite K și H (Procedura nu este importantă):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 16

4. Răspândiți polinomul la facilitățile de membru al grupului. Membrii grupului ai ecuației inițiale, astfel încât să îndure pe cei mai mari multiplicatori generali ai primilor doi și ultimii doi membri. În același timp, expresii în ambele paranteze ar trebui să fie aceleași. Multiplicatorii obișnuiți se organizează în expresie și se înmulțesc la aceeași expresie în paranteze.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 4 din 7:

Metoda triplă

Foarte similar cu metoda de descompunere. Această metodă ia în considerare factorii posibile de multiplicare A pe C și le folosește pentru a găsi o valoare B. Luați în considerare un exemplu: 8x + 10x + 2

unu. Multiplica A (8 în exemplar) C(2 în exemplar).

8 * 2 = 16

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 18

2. Găsiți două numere care vor da 16 înmulțite, iar rezultatul este egal cu coeficientul B (10 de exemplu).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 19

3. Au găsit două numere (denotă-i prin H și K) Înlocuirea următoarei ecuații (formula "Metoda triplă"):

((Ax + h) (ax + k)) / a

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 20

4. Aflați ce expresie în ambele paranteze este complet împărțită în A. În exemplul nostru, această expresie este (8x + 8). Împărțiți această expresie A, Și lăsați expresia celei de-a doua suporturi așa cum este.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Împărțiți această expresie pe 8 (A) și obține (x + 1)

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 21

cinci. Luați cel mai mare separator comun (nod) de la oricare sau ambele paranteze (dacă este). În exemplul nostru, nodul de expresie din cele două paranteze este de 2 (de la 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Astfel, ajungem

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 5 din 7:

Diferențe pătrate

Unii coeficienți polinomi pot fi identificați ca "pătrate" (lucrări de două numere identice). Găsirea "pătratelor" vă permite să accelerați descompunerea polinomului la multiplicatori. Luați în considerare un exemplu:

27x - 12 = 0

unu. Executați cel mai comun divid partajat pentru paranteze (dacă este). În exemplul nostru, 27 și 12 sunt împărțiți în 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 23

2. Determinați că ecuația inițială este diferența de două pătrate.Ecuația trebuie să aibă doi membri de la care rădăcina pătrată poate fi îndepărtată.

9x = 3x * 3x și 4 = 2 * 2 (rețineți că am scăpat un semn minus)

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 24

3. Valori înlocuitoare A și C În expresia formularului:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

În exemplul nostru A = 9 I C = 4, √A = 3 și √C = 2. Prin urmare,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 6 din 7:

Formula pentru rezolvarea unei ecuații pătrate

Dacă alte metode nu funcționează și polinomul nu se descompune asupra factorilor, utilizați soluțiile ecuației pătrate. Luați în considerare un exemplu:

X + 4x + 1 = 0

unu. Subminarea valorilor corespunzătoare în formula:

x = -b ± √ (B - 4AC)
---------------------
2a
Avem expresie:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 26

2. Găsi X. Trebuie să obțineți două sensuri X. După cum se arată mai sus, găsim două soluții:

x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3)

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 27

3. Valorile înlocuitoare găsite X in loc de H și K În expresia formularului:

(X - h) (x - k)

(X - (-2 + √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 7 din 7:

Calculator

Dacă puteți utiliza un calculator grafic, acesta va simplifica în mod semnificativ procesul de descompunere a polinomilor la multiplicatori. Mai jos sunt instrucțiuni pentru calculatorul grafic Ti. Luați în considerare un exemplu:

Y = x - x - 2

unu. Introduceți ecuația dvs. în [Y =].

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 29

2. Apăsați [grafic] pentru a construi un grafic al ecuației. Veți vedea o curbă netedă (în cazul nostru o parabolă, deoarece aceasta este o ecuație pătrată).

Imagine intitulată Polinoamele de gradul doi (ecuații patrate) Pasul 30

3. Găsiți punctele de intersecție a parabolei cu axa X. Deci veți găsi valori X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Dacă nu puteți determina coordonatele vizual, apăsați [2nd] și apoi [Trace]. Apăsați [2] sau selectați "zero". Încărcați cursorul la intersecția din stânga și apăsați [ENTER]. Încărcați cursorul la intersecția corectă și apăsați [ENTER]. Calculatorul în sine determină valorile X.

Imagine intitulată Factor Polinoame de gradul II (ecuații patrate) Pasul 31

4. Valori înlocuitoare X in loc de H și K În expresia formularului:

(x - h) (x - k) = 0

(X - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

sfaturi

Dacă aveți un calculator grafic Ti-84, atunci pentru el există un program de rezolvare care rezolvă ecuații pătrate (și în ecuațiile generale din orice măsură).
Dacă membrul nu este în polinom, atunci coeficientul este egal cu 0. Dacă aveți un astfel de caz, este util să rescrieți ecuația în formularul:

x + 6 = x + 0x + 6
Dacă ați pus un polinom cu ajutorul unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătrate și a primit un răspuns la rădăcini, convertiți valorile X într-o fracțiune de verificare.
Dacă cu un necunoscut (variabil) nu există coeficient, este egal cu 1.

x = 1x
De-a lungul timpului, veți învăța să țineți metoda de mostre și erori în capul meu. Și până atunci scrieți-l.

Avertizări

Dacă studiați descompunerea polinomilor în clase, utilizați metoda care îi sfătuiește pe profesor și nu cea care vă place. Profesorul de la examen poate necesita utilizarea oricărui mod special și poate interzice utilizarea unui calculator grafic.