Cum de a rezolva polinomii

În matematică, un polinom (sau polinom) este cantitatea sau diferența dintre paturile. Programate includ variabile și constantă, de exemplu, un singur panou sunt de 4, -10x și 3x. Polinomul constă în orice număr finit de o singură aripă, care nu conține indicatori negativi de grad (x), variabile în numitor (1 / x) și variabile sub semnul rădăcinii pătrate. Pentru a rezolva polinomul, trebuie să aflați la ce valori x Polinomul este zero.

Pași

Metoda 1 din 5:

Înregistrați polinomul

unu. Aranjați membrii polinomului în ordinea descrescătoare a indicatorilor de gradul. Rescrieți acest polinom, astfel încât membrul cu cea mai mare rată de grad este mai întâi și un membru cu cel mai mic indicator - ultimul. De exemplu, un polinom -1 + 3x - X va rescrie acest lucru: -X + 3X- 1.

Amintiți-vă că un membru negativ va fi întotdeauna negativ, chiar dacă îl scrieți primului membru. Uită-te la exemplul anterior --x -x a fost negativ (pentru că a fost dedus), așa că a rămas negativ când l-ai înregistrat cu primul membru.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 2

2. Simplificați polinomul. Uneori, fiecare membru al polinomului conține un multiplicator, care poate fi atins de paranteze și, prin urmare, simplifică polinomul. De exemplu, într-un polinom 2x + 4x - 12, fiecare element este împărțit în 2, adică 2 poate fi scos din paranteze: 2 * (x + 2x - 6), în timp ce valoarea polinomului original nu va fi Schimbare. Amintiți-vă că această metodă este aplicabilă numai atunci când fiecare membru are un multiplicator general.

Pentru a verifica calculele, înmulțiți fiecare membru pe 2. Polinomul inițial trebuie să fie obținut: 2x + 4x - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Această metodă este aplicabilă variabilelor, de exemplu: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Luați întotdeauna cel mai mare multiplicator pentru paranteze. În polinomul de 10x + 20X pentru paranteze, este posibil nu numai 2, ci și 10x.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 3

3. Determinați dacă este posibil să rezolvați polinomul. Amintiți-vă că polinomul include orice număr finit de o singură aripă, care nu conține indicatoare negative negative (x), variabile în numitor (1 / x) și variabile sub semnul rădăcinii pătrate. Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, această ecuație este rezolvată prin metode care nu sunt luate în considerare în acest articol.

Rețineți că polinomii indică gradul de care este de 4 (x) și mai mare, este foarte dificil să se decidă, dar pentru aceasta puteți utiliza calculatorul grafic.

Dacă eficientizați polinomul în ordinea descrescătoare a indicatorilor, acesta va fi înregistrat în formă standard.

Imagine intitulată rezolvarea polinomilor Pasul 4

4. Amintiți-vă principalii termeni matematici. Este destul de dificil să rezolve polinomii, dacă nu cunoașteți terminologia. Amintiți-vă următorii termeni:

Programată (sau doar un membru) este o expresie matematică care include o constantă, variabilă sau constantă și variabilă. De exemplu, 5, x, 3T, 15Y.

Polinom (sau polinom) - aceasta este cantitatea sau diferența dintre paturile.

Faptul este numărul care, atunci când se înmulțește, dă al treilea număr unui alt număr. De exemplu, multiplicatorii 10 sunt numerele 2, 5, 1, 10, deoarece fiecare dintre aceste numere, fiind înmulțit cu un alt număr, va da 10. Multiplele pot fi variabile, de exemplu, multiple de 10x sunt 2, 5, 1, 10 și x.

Gradul este cea mai mare rată a gradului de variabilă care este inclusă în polinomială. De exemplu, un polinom X + 3x + 55 este un polinom al gradului al cincilea.

Trei vechi este un polinom care constă din trei homorali, de exemplu, 2x + x + 12.

Două (sau Binom) este un polinom care constă din două homorale, de exemplu, X + 9. Rețineți că unele polinomi pot fi descompuse pe multiplicatori de două și mai multe bouncer.

Metoda 2 din 5:

Descompunerea a trei părți interesate

unu. Rezolvați un polinom care este dat sub formă de trei. Acest articol discută doar pătrat de trei metri (indicatorul gradului lor nu depășește 2, de exemplu, x, 3x și așa mai departe), deoarece astfel de etape sunt cele mai frecvente și ușor de rezolvat. Trei trebuie să se descompună asupra lucrării a două benomi de gradul întâi. Luați în considerare un exemplu: X + 9x - 20.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 6

2. Amintiți-vă că amenzile pot fi descompuse pe multiplicatori din două benomi. Pentru a rezolva trei decizii, este necesar să o simplificăm și, pentru aceasta, să se descompună trei ori pentru a lucra două Benomes, indicatorul căruia nu depășește 1 (de exemplu, x, 5x și așa mai departe). Amintiți-vă ordinea de multiplicare a două restanțe: primii membri, primii și al doi membri, al doilea și primii membri, al doilea membru. De exemplu, mișcarea răsucite (x + 3) și (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Primii membri. Primii membri sunt X.

x * x = X

Primul și cel de-al doilea membru. Primul membru este X, iar al doilea 2.

X * 2 = 2x

Al doilea și primii membri. Al doilea termen este 3, iar primul X.

3 * x = 3x

Al doilea membru. Al doilea element sunt 3 și 2.

3 * 2 = 6

Pliați rezultatele pentru a obține un polinom: X + 3x + 2x + 6.

Fold (sau deduce) Membrii similari pentru a simplifica polinomul (membrii similari sunt membri care conțin o variabilă cu același indicator de gradul): x + 5x + 6

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 7

3. Răspândiți trei mize. Majoritatea celor trei mize pot fi descompuse pe doi factori, fiecare dintre care este răsucite două grade. Această metodă include metoda de probă și de eroare. Acordați atenție următoarelor:

Primul mandat de trei mela (x) este rezultatul multiplică primilor membri ai fiecăruia.

Cel de-al doilea membru al trei declarații (x) este suma rezultatelor multiplicării primului și al doilea și al doilea și primii membri ai fiecăruia.

Cel de-al treilea membru al celor trei declarați (6) este rezultatul multiplicării celui de-al doilea membru al fiecăruia.

Dacă al treilea stilou este negativ, atunci al doilea membru al uneia dintre twistrele va fi negativ.

Notați descompunerea celor trei lovituri pe bucata de ședere sub formă de X + X - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__), adică trebuie să găsiți netedă și să le înlocuiți în loc de spații.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 8

4. Găsiți primele shakes (pentru fiecare pereche de paranteze). Luați în considerare un exemplu: X + X - 20. Pentru a găsi primele, uitați-vă la primul membru al trei și plasați-l pe perechile celor mai simpli multiplicatori. În exemplul nostru, astfel de factori sunt x și x, deoarece x * x = x.

Găsită netedă pentru a înlocui în loc de primele spații din interiorul fiecărei perechi de paranteze: (x +/- __)

Amintiți-vă că piața este o variabilă sau constantă, înmulțită cu ea însăși.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 9

cinci. Găsiți două numere a căror activitate este al treilea membru al trei. Pentru a face acest lucru, uitați-vă la cel de-al treilea membru al trei pantofi și răspândiți-l pe toate perechile de multiplicare posibile. În exemplul nostru (al treilea termen este numărul -20), astfel de perechi de multiplicatori sunt următoarele numere:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Rezolvarea polinomilor complexi, puteți utiliza fracțiuni zecimale (-3 * 6,6666), dar astfel de polinomi sunt foarte dificil de a decide, deoarece este aproape imposibil să se aplice metoda de eșantioane și erori. În astfel de cazuri, bucurați-vă de un calculator grafic.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 10

6. Printre cei găsiți (la etapa anterioară), perechile de multiplicatori selectează astfel de numere, când cel de-al doilea membru este pregătit, al doilea membru este de trei ani. Constant (constant) este întotdeauna în fața variabilei. În exemplul nostru, al doilea membru al trei fotografii este X. Deoarece constanta nu este specificată, este egală cu 1, deoarece x * 1 = x. Astfel, trebuie să alegeți astfel de numere, când adăugarea obținută 1. În exemplul nostru, o astfel de pereche sunt numere -4 și 5: -4 + 5 = 1. Deci, lucrarea de bounces va arăta astfel: (X - 4) (x + 5).

Numerele pozitive sunt identificate cu adăugare și negative - cu scăderea.

Notă: Să ia în considerare constanta primului membru al trei. De exemplu, dacă în exemplul nostru, primul mandat de trei declite va fi de 3 ori, atunci un astfel de triplu nu este stabilit pe multiplicatori (3x - 4) (x + 5), deoarece în acest caz cantitatea de rezultate ale Lucrările primului și al doilea membru și al doilea și primii membri nu sunt egali cu 1: 15 + (-4) = 11. Aici trebuie să alegeți o altă pereche de factori de număr -20.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 11

7. Multiplicați membrii bounții pentru a verifica rezultatul. În exemplul nostru:

(x - 4) (x + 5)

Primii membri. x * x = x

Primul și cel de-al doilea membru. x * 5 = 5x

Al doilea și primii membri. -4 * x = -4x

Al doilea membru. -4 * 5 = -20

Fold rezultatele pentru a obține un polinom: x + 5x - 4x - 20

Pliați sau deduceți membri similari: X + X - 20

Deoarece amenințarea rezultată coincide cu sursa, soluția este corectă.

Imagine intitulată Rezolva polinomii Pasul 12

opt. Practică în descompunerea celor trei mize asupra multiplicatorilor. Aproximativ de trei ori mai dificil de stabilit decât alții. Încercați să descompune următoarele pătrate pe factori și să comparați răspunsurile primite cu următoarele.

Simpla sarcină: X + 4x + 3.

Răspuns: (x + 1) (x + 3)

Sarcina normală: X - 9 + 18.

Răspuns: (X - 3) (x - 6)

Sarcină dificilă: 4x - 2x -6

Răspuns: (2x - 3) (2x + 2)

Metoda 3 din 5:

Decizia polinomilor

unu. Pentru a rezolva polinomul, trebuie să-l echivaleze la zero. Sarcinile necesită "a găsi valorile variabilei în care polinomul este 0" sau "găsiți rădăcinile polinomului" sau pur și simplu "rezolvați polinomul". Înainte de a echivala polinomul la zero, utilizați sfaturile prezentate în prima secțiune a acestui articol. Luați în considerare un exemplu: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

Rădăcinile polinomului sunt situate în cazul în care este zero, adică este un punct (pe planul de coordonate), în care graficul funcției polinominale traversează axa x (axa orizontală).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 14

2. Echivalează fiecare biccoon (dacă ați decompus un polinom pentru multiplicatori) la zero. Deoarece polinomul este refuzat mai multor factori, sarcina principală este împărțită în mai multe subtasuri. Dacă 0 se înmulțește cu orice expresie sau număr, atunci se va întoarce 0, astfel încât să puteți lua în considerare fiecare multiplicator separat. Astfel, în exemplul nostru, sarcina este împărțită în 3 subscrieri:

Ecuația A: 3x = 0

Ecuația B: 2x - 4 = 0

Ecuația C: X + 5 = 0

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 15

3. Decideți toate ecuațiile, adică găsiți "x". Fiecare decizie va fi rădăcina polinomului original. Pentru a găsi "x", separați această variabilă pe o parte a ecuației.

Ecuația A: Scapa de 3 moduri la următoarea diviziune: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Ecuația B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Ecuația C: X + 5 - 5 = 0 - 5

X = -5

Ai găsit rădăcinile polinomului.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 16

4. Pentru a verifica răspunsul, înlocuiți valorile găsite în polinomul original. Aceasta este o modalitate rapidă și fiabilă de a verifica orice decizie. În loc de "x" înlocuiți valorile găsite - dacă soluția este corectă, polinomul va fi egal cu 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Răspunsul este corect. Verificați valorile rămase ale "x".

Metoda 4 din 5:

Soluția polinomilor complexi

unu. Simplificați polinomul. Pentru a face acest lucru, puneți-l pe munca răsucite și trei. De exemplu, produsul (X-5) (x + x 20) poate fi împărțit în două ecuații și le rezolvă separat.

Dacă un grad foarte administrat este un grad înalt, de exemplu, X, atunci poate fi scris după cum urmează: (x), care va simplifica în mod semnificativ decizia sa.

De exemplu, x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 18

2. Rezolvați un polinom care este dat sub forma unei diferențe de două cuburi. Dacă numărul sau cubul variabil este scos din cubul unui alt număr sau variabil, de exemplu, X - 8, atunci o astfel de diferență poate fi descompusă pe produsul răsucite și trei declarate prin formula de multiplicare abreviată: (A - B) (A + AB + B) = A - B

În exemplul nostru a = x, b = 2 (de la 2 = 8). Prin urmare x - 8 = (x - 2) (x + 2x + 8).

Pentru a înțelege cum este afișată această formulă, deschisă Această pagină (în limba engleză).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 19

3. Învață să rezolvi o ecuație pătrată. Ecuația pătrată este un al doilea grad polinom echivalent cu zero. Ecuația pătrată poate fi utilizată pentru a rezolva polinomii complexi fără un calculator grafic. Cu ajutorul formulei de rezolvare a ecuației pătrate, puteți găsi rapid rădăcinile polinomului.

Metoda 5 din 5:

Folosind un calculator grafic

unu. Pentru a rezolva un polinom complex, utilizați un calculator grafic. Polinoamele complicate sunt polinoame cu un număr mare de membri, indicatori ciudați ai gradului sau multiplicatorii ascunși. Calculatorul grafic găsește rădăcini în modul automat. Cea mai ușoară modalitate de a utiliza caracteristica ZEROS (zerouri).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 21

2. Introduceți un polinom în calculatorul grafic. De regulă, acest lucru se face pe ecranul Y = _____ sau F (x) _____ (polinomul este introdus în loc de spații).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 22

3. Uită-te la program. Un grafic polinom introdus apare pe ecranul Calculator.

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 23

4. Faceți clic pe "Zeros" (zerouri). În cele mai populare calculatoare grafice fabricate de Texas Instrument, faceți clic pe "2nd" - "Calc" - "Zeros". Pe alte calculatoare grafice, funcția corespunzătoare poate fi numită "rădăcini" (rădăcini), "calculați rădăcinile" (calculați rădăcinile), "Calculați zerouri" (calculați zerourile).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 24

cinci. Selectați puncte situate la stânga și la dreapta de la rădăcina dorită. Punctul clipește va apărea în diagramă. Folosind butoanele săgeată, setați punctul intermitent în partea stângă a punctului de intersecție al graficului cu axa Abscisa. Marcați punctul selectat. Repetați acest proces pentru a marca punctul spre dreapta rădăcinii dorite.

Calculatorul va oferi să găsească aceste puncte.

Nu alegeți întregul program - măriți-l și selectați puncte spre stânga și spre dreapta de la pretinsa rădăcină (adică punctele de intersecție ale graficului cu axa X).

Imagine intitulată Solva polinomii Pasul 25

6. Asigurați-vă că marcați punctele în care graficul se referă pur și simplu (dar nu trece) axa x. Astfel de puncte sunt, de asemenea, ecuații rădăcini.

Dacă ați găsit manual rădăcinile polinomului, verificați-le cu un calculator grafic. Pentru a face acest lucru, în calculator, găsiți coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa X.

sfaturi

Nu vă faceți griji dacă polinomul include alte variabile, de exemplu, T sau dacă este egal cu F (x) și nu la 0. Dacă aveți nevoie să găsiți rădăcini, zerouri sau multiplicatori, rezolvați un astfel de polinom, precum și oricare altul (adică așa cum este descris în acest articol).
Amintiți-vă procedura de efectuare a operațiunilor matematice. În primul rând, rezolvați expresia în paranteze, apoi înmulțiți sau împărțiți, apoi pliați sau deduceți.

Avertizări

Scrieți răspunsul dacă este necesar în sarcină.
Aceeași operație matematică se efectuează pe ambele părți ale ecuației.
Aplicați ușor punctele (pentru a construi un grafic) pe planul de coordonate.
Ecuația trebuie trimisă într-un formular standard (așa cum este descris mai sus).