Cum să vă indiferent de o funcție implicită: 7 pași

Când vi se oferă o funcție clară, în care variabila dependentă este izolată pe o parte a semnului de egalitate (de exemplu, y = x -3x), atunci puteți indiferent direct direct (adică pentru a găsi derivatul său). Funcții implicite (de exemplu, X + Y - 5x + 8Y + 2xy = 19), în care nu este atât de simplu să se separe diferit variabila dependentă diferită.

Pași

Metoda 1 din 2:

Găsirea unui derivat al unei simple funcții

unu. Pe ambele părți ale funcției, găsiți (într-un mod standard) derivați ai membrilor care conțin o variabilă independentă "X" și membrii liberi derivați. În acest stadiu, membrii care conțin variabila dependentă "Y" până când atingeți. De exemplu, funcția X + Y este dată - 5x + 8Y + 2xy = 19.

În exemplul nostru x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19 există doi membri din variabila "x": x și -5x. Găsiți instrumentele derivate:
X + Y - 5X + 8Y + 2XY = 19
(Gradul de 2 în x face un multiplicator, în -5x scapă de "x", și derivat 19 este 0)
2x + y - 5 + 8Y + 2XY = 0

Image denumită diferențierea implicită Pasul 2

2. Acum luați derivați de la membru din variabila "Y" și impuneți-le (DY / DX). De exemplu, la găsirea derivatului unui membru, scrieți-l după cum urmează: 2Y (DY / DX). În acest stadiu, membrii care conțin ambele variabile ("x" și "y") până când atingeți.

În exemplul nostru 2x + y - 5 + 8Y + 2XY = 0 Diferențiați membrii Y și 8Y:

2x + y - 5 + 8Y + 2XY = 0

(Indicatorul gradului de 2 V m pentru a face un multiplicator, iar în a 8-a scapă de "Y" - apoi impuneți derivatul DX / DY primit)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2xy = 0

Imagine intitulată Dă diferențierea implicită Pasul 3

3. Pentru a găsi un derivat de membru care conține un produs de două variabile ("x" și "y"), utilizați funcția de diferențiere a funcției funcțiilor: (F × g) `= f` × g + g × f `, unde în loc de substratul f "x" și în loc de g - "y". Pe de altă parte, pentru a găsi un derivat al unui membru care conține două variabile private ("x" și "y"), utilizați regula de diferențiere a funcțiilor private: (F / g) `= (G × F` - G `× F) / G, unde în loc de substratul f "x" și în loc de g - "y" (sau invers, în funcție de funcțiile de-ți)).

În exemplul nostru 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 există un membru cu ambele variabile: 2xy. Deoarece aici variabilele se înmulțesc, utilizați funcția de diferențiere a funcțiilor:

2xy = (2x) (y) - lăsați 2x = f și y = g în (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4XY (DY / DX)

Adăugați acești membri la funcția principală și obțineți: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

Imagine intitulată Dă diferențierea implicită Pasul 4

4. (DY / DX). Rețineți că oricare dintre doi membri "A" și "B", care sunt înmulțită cu (DY / DX), pot fi scrise în forma (A + B) (DY / DX). Pentru separare (DY / DX), transferați toți membrii fără (DY / DX) într-o parte a semnului de egalitate și apoi împărțiți-le la membrii care stau în paranteze la (DY / DX).

În exemplul nostru 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) = -2Y - 2X + 5

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 din 2:

Metode avansate

unu. Valori submold (x, y) pentru a găsi (dy / dx) pentru orice punct. Obligibil (DY / DX), ați găsit un derivat al unei funcții implicite. Folosind acest derivat, puteți găsi coeficientul unghiular al tangențialului în orice punct (x, y), substituiți pur și simplu în derivatul găsit al coordonatelor "X" și "Y".

De exemplu, este necesar să se găsească coeficientul unghiular al tangentului la punctul A (3, -4). Pentru a face acest lucru, în derivatul în loc de înlocuitorul "X" 3, și în loc de înlocuitorul "Y" -4:
(Dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(DI / DX) = (-2 (-4 )- 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(DI / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Imagine denumită diferențierea implicită Pasul 6

2. Profitați de detaliile lanțului de diferențiere a funcțiilor complexe: Dacă funcția f (x) poate fi scrisă în formular (f O g) (x), derivat f (x) este egal F `(g (x)) g` (x). Aceasta înseamnă că derivatul compoziției a două sau mai multe funcții poate fi calculat pe baza derivaților individuali.

Exemplu: Găsiți derivatul de păcat (3x + x). În acest caz, denotă păcatul (3x + x) ca "F (x)" și 3x + x cum ar fi "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(păcat (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) COS (3x + x)

Imagine denumită diferențierea implicită Pasul 7

3. Dacă funcția conține variabilele "X", "Y", "Z", găsiți (DZ / DX) și (DZ / DY). Adică dacă funcția conține mai mult de două variabile, pentru fiecare variabilă suplimentară este necesar să se găsească un derivat suplimentar de "x". De exemplu, dacă funcția conține variabilele "x", "Y", "Z", trebuie să găsiți (DZ / DX) și (DZ / DY). Puteți face acest lucru prin direcționarea funcției prin "x" de două ori - pentru prima dată veți adăuga (DZ / DX) pentru fiecare membru intensiv cu "Z", iar pentru a doua oară voi adăuga (DZ / DY) atunci când se diferențiază "z". După aceea, pur și simplu separat (DZ / DX) și (DZ / DY).

De exemplu, găsiți derivatul XZ - 5xyz = x + y.

În primul rând, indiferent de "x" și adăugați (dz / dx). Nu uitați să aplicați regula de găsire a unui derivat al funcției funcțiilor.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (dz / dx) - 5Yz - 5xy (dz / dx) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3xz + 5YZ

(DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2xz - 5xy)

Acum faceți același lucru pentru (DZ / DY):

xz - 5xyz = x + y

2xz (DZ / DY) - 25XYZ - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25XYZ

(DZ / DY) = (3Y + 25XYZ) / (2xz - 5xy)

Avertizări

Acordați atenție membrilor atunci când se diferențiază că este necesar să se aplice regula de găsire a unui derivat al produsului sau al funcțiilor private.