Cum să luați un derivat în analiza matematică

Funcția derivată poate fi utilizată pentru a obține informații utile despre grafică, de exemplu, pentru a afla poziția maximă, minime, vârfuri, depresie și natura de înclinare. Puteți chiar să le utilizați pentru a construi ecuații complexe în program fără aplicarea calculatorului grafic! Din păcate, găsirea unui derivat poate fi o sarcină plictisitoare, dar acest articol vă va ajuta să învățați unele tehnici și dexteritate.

Pași

unu. Verificați derivatul de desemnare a formularului. Următoarele două forme de desemnare sunt cele mai frecvente, dar pe Wikipedia puteți găsi un număr mare de alții Aici.

Denumire Leibnitsa. Această desemnare este cea mai frecventă în cazurile în care funcția include Y și X. Dy / dx înseamnă literalmente "derivat y relativ la x." Este convenabil să prezentați derivatul sub formă de diferențe infinit mici ΔY / Δx. Această explicație este o consecință a determinării derivatului prin limită: Lim_{H-> 0} (F (x + h) -f (x)) / h. Folosind această denumire pentru al doilea derivat, trebuie să scrieți: DY / DX.
Desemnarea Lagrange. Funcția derivată poate fi, de asemenea, scrisă ca f `(x). Această denumire este citită ca "F cod de bare de la x". Această desemnare este mai scurtă decât denumirea de leibritate, este utilă atunci când se ia în considerare derivatul ca funcție. Pentru a forma derivați ai ordinelor superioare, pur și simplu adăugați la"F" Nou " " ". Deci, al doilea derivat va fi văzut f `` (x).

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 2

2. Aflați ce este un derivat și de ce este necesar. În primul rând, pentru a găsi înclinația dependenței directe, două puncte sunt luate pe linie, iar coordonatele lor sunt înlocuite în ecuație (y₂ - y_unu) / (X₂ - X_unu). Cu toate acestea, acesta poate fi utilizat numai pentru dependențele liniare. Pentru dependențele patrate și deasupra liniei va fi o curbă, deci definiția "diferență" Două puncte nu pot fi exacte. Pentru a găsi remorcarea înclinării la grafica curbilinară, sunt luate două puncte, care sunt înlocuite în ecuația standard pentru determinarea tangentei Tangiere la curbă: [x + dx) - F (x)] / DX. DX înseamnă "Delta X," Diferența dintre cele două coordonate X ale programului. Vă rugăm să rețineți că această expresie este similară (y₂ - y_unu) / (X₂ - X_unu), doar într-o altă formă. Deoarece este deja cunoscut faptul că rezultatul nu va fi corect, se aplică o abordare indirectă. Pentru a găsi remorcarea înclinată la punctul (X, F (x)), DX ar trebui să se străduiască pentru 0, astfel încât două puncte selectate să fie vii într-una. Cu toate acestea, nu putem împărți 0, prin urmare, înlocuirea ambelor valori ale coordonatelor punctului, va trebui să extindeți expresia pe multiplicatori și să utilizați alte metode pentru a reduce DX în partea de jos a expresiei. După ce ați făcut acest lucru, acceptați dx = 0 și rezolvați ecuația. Acesta va fi un unghi de înclinare la punct (x, f (x)). Derivatorul expresiei este o expresie generală pentru găsirea unei înclinări a oricărui tangent la programare. Poate părea extrem de dificil, dar mai multe exemple prezentate mai jos vă vor ajuta să înțelegeți procesul de găsire a unui derivat.

Metoda 1 din 4:

Diferențierea funcțiilor explicite

unu. Utilizați diferențierea funcțiilor explicite atunci când expresia dvs. are deja Y, situată într-o parte a acestuia.

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 4

2. Înlocuiți o expresie [F (x + dx) - f (x)] / dx. De exemplu, dacă ecuația dvs. are forma y = x, derivatul va fi vizualizat [(x + dx) - x] / dx.

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 5

3. Deschideți parantezele și apoi redate DX pe paranteze, obținerea ecuației [DX (2x + DX)] / DX. Acum puteți scurta două DX în părțile superioare și inferioare ale fracției. Ca rezultat, veți primi 2x + dx și când DX tinde la 0, atunci derivatul este de 2x. Aceasta înseamnă că panta oricărui tangent la graficul y = x este 2x. Doar înlocuiți valoarea punctului X în care doriți să găsiți o pantă.

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 6

4. Explorați schemele de găsire a funcțiilor derivate de acest tip. Mai jos sunt unele dintre ele.

Derivatul funcției de putere este egal cu produsul gradului și motivului gradului pe unitate. De exemplu, un derivat al lui Xhanne 5x și derivatul X este egal cu 3.5x. Dacă înainte de x au deja un număr, doar multiplicați-l la gradul. De exemplu, derivatul 3x este de 12x.

Derivatorul oricărui număr este egal cu 0. Cu alte cuvinte, derivatul 8 este egal cu 0.

Suma derivată este suma derivaților individuali. De exemplu, derivatul X + 3X este de 3x + 6X.

Derivatul lucrării este produsul primului factor de derivat al celui de-al doilea plus produsul celui de-al doilea factor la derivatul primului. De exemplu, derivatul X (2x + 1) este X (2) + (2x + 1) 3x, care este de 8x + 3X.

Derivatul de fracție (spun, f / g) este [G (derivat f) - F (derivat G)] / g. De exemplu, un derivat (x + 2x - 21) / (X-3) este egal cu (x - 6x + 15) / (X-3).

Metoda 2 din 4:

Diferențierea funcțiilor implicite

unu. Utilizați diferențierea funcțiilor implicit exprimate atunci când Y pe o parte nu poate fi alocată în expresia dvs. Chiar dacă ați reușit să îl înregistrați cu y într-o parte, calculul lui Dy / DX va fi voluminos. Mai jos sunt exemple de găsire a unui derivat pentru expresii de acest tip.

Imagine intitulată Luarea derivați în Calculul Pasul 8

2. În acest exemplu: XY + 2Y = 3X + 2Y, înlocuiți-l pe f (x) pentru a vă aminti că Y este de fapt o funcție. Expresia va lua forma XF (X) + 2 [F (x)] = 3x + 2F (x).

Imagine intitulată Luarea derivați în Calculul Pasul 9

3. Pentru a găsi derivatul acestei expresii, indiferenți (înseamnă un cuvânt inteligent pentru a găsi un derivat) ambele părți ecuație prin x. Expresia va deveni xf `(x) + 2xf (x) + 6 [F (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 10

4. Înlocuiți F (x) din nou pe y. Fiți atenți și nu faceți același lucru pentru F `(x), diferă de la F (x).

Imagine intitulată Luați derivați în Calculul Pasul 11

cinci. Găsiți f `(x). Răspunsul la acest exemplu ia forma (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Metoda 3 din 4:

Derivați ai ordinii superioare

unu. Luați funcția derivat de cea mai înaltă ordine pentru a lua un derivat derivat (în caz de ordin egal cu 2). De exemplu, dacă vi se cere să luați un derivat al treilea ordin, pur și simplu luați derivatul derivativ derivat. Pentru unele expresii, derivatele de înaltă ordine iau valoarea zero.

Metoda 4 din 4:

Lanțul de reguli

unu. Dacă Y este o funcție diferența Z, și Z - DIFERIBUIT FUNCTIONX, Y este o funcție complexă x și derivatul Y to X (DI / DX) (DY / DU) * (DU / DX). Regula de lanț se referă, de asemenea, la expresii complexe de putere, de exemplu: (2x - x). Pentru a găsi un derivat, aplicați pur și simplu regula produsului. Înmulțiți expresia pe grad și reduceți gradul pe unitate. Apoi multiplicați expresia derivat de bază (în cazul nostru este 2x ^ 4 - x). Răspunsul la acest exemplu arată astfel: 3 (2x - x) (8x - 1).

sfaturi

Când vedeți că trebuie să rezolvați doar un exemplu imens - nu vă faceți griji. Întrerupeți-l cât mai mult posibil, aplicând regulile lucrării, fracțiilor și t.D. După aceea, continuați să diferențieți părțile individuale.
Practica de a utiliza regulile lucrărilor, fracțiilor, lanțurilor și, în special, diferențierea funcțiilor într-o formă implicită, deoarece acestea reprezintă o parte foarte complexă a matanalizei.
Veți folosi calculatorul - încercați să utilizați diferite funcții ale calculatorului dvs. pentru a afla capacitățile sale. Sunt deosebit de utile pentru a cunoaște funcțiile tangentului și derivatului, dacă sunt în calculator.
Amintiți-vă derivații principalelor funcții trigonometrice și cum să le contactați.

Avertizări

Nu uitați că atunci când utilizați regulile Ruli înainte de F (derivat G) se face printr-un semn minus - aceasta este o eroare comună și uitare de ea, veți obține un răspuns incorect.