Cum de a construi un program de funcții raționale: 8 pași

Funcția rațională are forma y = n (x) / d (x), unde n și d sunt polinomiale. Pentru a construi un grafic precis al unei astfel de funcții, veți avea nevoie de o bună cunoaștere a algebrei, inclusiv a calculelor diferențiale. Luați în considerare următorul exemplu: Y = (2X - 6X + 5) / (4X + 2).

Pași

unu. Găsiți un punct de intersecție a graficului cu axa Y. Pentru a face acest lucru, substratul x = 0 și obține y = 5/2. Astfel, punctul de intersecție al graficului cu axa Y are coordonate (0, 5/2). Setați acest punct pe planul de coordonate.

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 2

2. Găsiți asimptote orizontale. Împărțiți numitorul la numitor (în coloană) pentru a determina comportamentul "Y" cu valorile "x" care caută în infinit. În exemplul nostru, rezultatul divizării va fi Y = (1/2)X - (7/4) + 17 / (8X + 4). Cu valori mari pozitive sau negative ale "X" 17 / (8X + 4) tinde la zero, iar graficul se apropie de o funcție specificată directă Y = (1/2)X - (7/4). Folosind o linie punctată, construiți un grafic al acestei caracteristici.

Dacă gradul de numărător este mai mic decât gradul de numitor, atunci nu veți putea împărți numitorul la numitor și asimpttota descrie funcția W = 0.

Dacă gradul de numărător este egal cu gradul de numitor, atunci asymptota este un raport orizontal direct, egal de coeficienți la "X" la cel mai înalt.

Dacă gradul de numărător este de 1 mai mult decât gradul de numitor, atunci asymptota este înclinată, a cărei coeficientul unghiular este egal cu raportul dintre coeficienți la "x" la cel mai înalt.

Dacă gradul de numărător este mai mare decât gradul de denominator la 2, 3 și t.D., Apoi, la valori mariNs.| Valori W tind la infinit (pozitiv sau negativ) sub forma unui pătrat, cubic sau alt grad de polinom. În acest caz, cel mai probabil, nu este necesar să se construiască un grafic exact al funcției obținute la împărțirea numărătorului la numitor.

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 3

3. Găsiți zerourile funcției. Funcția rațională are zerouri când număratorul său este zero, adică N (Ns.) = 0. În exemplul nostru 2X - 6X + 5 = 0. Discriminanța acestei ecuații pătrate:B - 4AC = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Deoarece discriminatorul este negativ, atunci n (Ns.) și, prin urmare, f (Ns.) nu are rădăcini valide. Graficul funcției raționale nu traversează axa x. Dacă funcția are zerouri (rădăcini), setați-le pe planul de coordonate.

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 4

4. Găsiți asimptote verticale. Pentru a face acest lucru, echivalează numitorul la zero. În exemplul nostru 4X + 2 = 0 și Ns. = -1/2. Construiți un grafic de asimptote verticale folosind o linie punctată. Dacă cu unele sensuri Ns. N (Ns.) = 0 și d (Ns.) = 0, apoi asimptota verticală sau există sau nu există (acesta este un caz rar, dar este mai bine să-l amintiți).

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 5

cinci. Uită-te la reziduul de împărțirea numărului la numitor. Este pozitiv, negativ sau egal cu zero? În exemplul nostru, reziduul este de 17, adică este pozitiv. Pericol 4X + 2 pozitiv la dreapta asimptotelor verticale și negative la stânga. Aceasta înseamnă că un grafic al funcției raționale la valori pozitive mari Ns. abordează asimptotizarea de sus și cu valori negative mari Ns. - Fund. Din 17 / (8X + 4) Niciodată la zero, atunci programul acestei funcții nu va trece niciodată funcția specificată specificatăW = (1/2)Ns. - (7/4).

Imagine intitulată grafic O funcție rațională Pasul 6

6. Găsiți extrem de locali. Extremul local există la n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0. În exemplul nostru n `(X) = 4X - 6 și d "(X) = 4. N `(X) D (X) - n (X) D `(X) = (4X - 6) (4X + 2) - (2X - 6X + 5) * 4 = X + X - 4 = 0. Decizia acestei ecuații, veți găsi asta X = 3/2 I X = -5/2. (Acestea nu sunt înțeles destul de precis, dar sunt potrivite pentru cazul nostru, când urgența nu este necesară.)

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 7

7. Găsiți valoarea W Pentru fiecare extremum local. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile Ns. În funcția rațională originală. În exemplul nostru F (3/2) = 1/16 și F (-5/2) = -65/16. Amâna punctele (3/2, 1/16) și (-5/2, -65/16) pe planul de coordonate. Deoarece calculele se bazează pe valori aproximative (din etapa anterioară), minimul găsit și maximul nu sunt, de asemenea, în întregime exacte (dar probabil foarte apropiate de valorile exacte). (Punctul (3/2, 1/16) este foarte aproape de minimul local. Pornind de la pasul 3, știm asta W Întotdeauna pozitiv ca Ns.> -1/2, și am găsit o valoare mică (1/16) - astfel, în acest caz, valoarea erorii este extrem de mică.)

Imagine intitulată Grafic O funcție rațională Pasul 8

opt. Conectați punctele în așteptare și extindeți fără probleme programul la asimptotams (nu uitați de direcția corectă a aproximării programelor de asimptottam). Nu uitați că programul nu trebuie să traverseze axa X (a se vedea. Pasul 3). Graficul, de asemenea, nu se intersectează cu asimptote orizontale și verticale (a se vedea. Pasul 5). Nu schimbați direcția de program, cu excepția punctelor de extreme găsite în pasul anterior.

sfaturi

Dacă ați finalizat strict acțiunile descrise mai sus, atunci nu este nevoie să se calculeze al doilea derivate (sau cantități complexe similare) pentru a vă verifica decizia.
Dacă nu trebuie să calculați valorile valorilor, puteți înlocui constatarea extrem desurilor locale pentru a calcula câteva perechi de coordonate suplimentare (Ns., W) între fiecare pereche de asimptot. Mai mult decât atât, dacă nu vă pasă cum funcționează metoda descrisă, atunci nu fiți surprinși de ce nu puteți găsi derivatul și rezolvați ecuația N `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0.
În unele cazuri, va trebui să lucrați cu polinoame de înaltă ordine. Dacă nu găsiți soluția exactă cu ajutorul descompunerii multiplicatorilor, formulelor etc.Ns.., Apoi evaluați soluțiile posibile utilizând metode numerice, cum ar fi metoda Newton.
În cazuri rare, numitorul și numitorul au un multiplicator variabil obișnuit. În conformitate cu pașii descriși, acest lucru va duce la zero și la asimptote verticale în același loc. Cu toate acestea, acest lucru nu este posibil, iar explicația servește una dintre următoarele opțiuni:

Zero în n (Ns.) are o multiplicitate mai mare decât zero în d (Ns.). Graficul F (Ns.) tinde la zero în acest moment, dar nu este definită în ea. Specificați-o prin desenarea unui cerc în jurul punctului.
Zero în n (Ns.) și zero în d (Ns.) au același multiplu. Programul se apropie de un punct nonzero în acest sens Ns., dar nu este definită în ea. Specificați-o prin desenarea unui cerc în jurul punctului.
Zero în n (Ns.) are o multiplicitate mai mică decât zero în d (Ns.). Există o asimptota verticală aici.