Cum se calculează viteza instantanee: 11 pași

Viteză - Aceasta este viteza de a deplasa obiectul în direcția specificată.În scopul general de a găsi viteza obiectului (V) - o sarcină simplă: trebuie să împărțiți mutarea (mișcarea) pentru un anumit timp (e) pentru acest timp (t), care este, utilizați formula V = S / T. Cu toate acestea, în acest fel se obține viteza medie a corpului. Folosind unele calcule, puteți găsi viteza corpului oriunde. O astfel de viteză este numită Viteza instantanee și calculată cu formula V = (DS) / (dt), Adică un derivat al formulei de calcul al vitezei medii ale corpului.

Pași

Partea 1 din 3:

Calculul vitezei instantanee

unu. Începeți cu ecuația. Pentru a calcula viteza instantanee, este necesar să se cunoască ecuația care descrie mișcarea corpului (poziția sa la un moment dat), adică o astfel de ecuație, pe o parte a cărei s (mișcarea corpului) este localizată , iar pe cealaltă parte - membrii cu o variabilă t (timp). De exemplu:

S = -1.5T + 10T + 4

În această ecuație:
Mutare = S. Mutarea - Calea a trecut de obiect. De exemplu, dacă corpul sa mutat 10 m înainte și 7 m înapoi, atunci mișcarea totală a corpului este de 10 - 7 = 3M (A 10 + 7 = 17 m).
Timp = T. Măsurată de obicei în secunde.

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 2

2. Calculați derivatul ecuației. Pentru a găsi viteza instantanee a corpului, ale căror mișcări sunt descrise mai sus ecuația de mai sus, trebuie să calculați derivat din această ecuație. Derivatul este o ecuație care vă permite să calculați panta graficului în orice moment (în orice moment). Pentru a găsi un derivat, indiferent de funcția după cum urmează: Dacă y = a * x, atunci derivat = a * n * x. Această regulă se aplică fiecărui membru al polinomului.

Cu alte cuvinte, derivatul fiecărui element din variabila T este egal cu produsul multiplicatorului (în picioare înaintea variabilei) și gradul de variabilă înmulțit cu o variabilă la o diplomă egală cu gradul inițial minus 1. Termen liber (un membru fără o variabilă, adică numărul) dispare, deoarece este înmulțit cu 0. În exemplul nostru:

S = -1.5T + 10T + 4
(2) -1.5M + (1) 10T + (0) 4T
-3M + 10T
-3M + 10

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 3

3. A inlocui "S" pe "DS / dt", Pentru a arăta că o nouă ecuație este un derivat al ecuației originale (adică derivatele S de la T). Derivatul este panta graficului la un punct specific (la un moment dat). De exemplu, pentru a găsi panta liniei descrise de funcția S = -1.5M + 10T + 4 la t = 5, substituiți 5 la ecuația derivată.

În exemplul nostru, ecuația derivată ar trebui să arate astfel:

Ds / dt = -3t + 10

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 4

4. În ecuația derivată, înlocuiți valoarea corespunzătoare t pentru a găsi o viteză instantanee la un moment dat. De exemplu, dacă doriți să găsiți viteza instantanee la t = 5, înlocuiți doar 5 (în loc de T) la ecuația DS / DT = -3 + 10. Apoi decideți ecuația:

Ds / dt = -3t + 10
DS / DT = -3 (5) + 10
Ds / dt = -15 + 10 = -5 m / s

Fiți atenți la măsurarea rapidă a vitezei: m / s. Deoarece ni se dă valoarea de a se deplasa în metri și timp - în secunde, iar rata este egală cu raportul dintre timp, atunci unitatea de măsurare M / C este corectă.

Partea 2 din 3:

Estimare grafică viteză instantanee

unu. Construiți un program de mișcare a corpului. În capitolul precedent, ați calculat viteza instantanee cu formula (derivatul ecuației, permițând să găsiți o pantă a graficului la un punct specific). Buing o diagramă de mișcare a corpului, puteți găsi înclinarea ei în orice moment și, prin urmare, Determinați viteza instantanee la un moment dat în timp.

Pe axa y, amâna mișcarea și pe axa x - timpul. Coordonatele punctelor (x, y) vor primi prin înlocuirea diferitelor valori ale T la ecuația inițială, deplasați și calculați valorile corespunzătoare.
Programul poate scădea sub axa x. Dacă mișcarea corpului este coborâtă sub axa X, înseamnă că corpul se mișcă în direcția opusă de la punctul de pornire. De regulă, programul nu se aplică axei y (valori negative ale X) - nu măsuram viteza obiectelor care se mișcă înapoi în timp!

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 6

2. Selectați punctul P de pe graficul (curba) și punctul q. Pentru a găsi panta graficului la punctul P, utilizați conceptul de limită. Limita este o afecțiune în care valoarea seculului, condusă prin 2 puncte P și Q situată pe curbă, tinde la zero.

De exemplu, ia în considerare punctele P (1,3) și Q (4,7) și calculați viteza instantanee la p.

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 7

3. Găsiți panta segmentului PQ. Panta segmentului PQ este egală cu raportul dintre diferențele dintre valorile coordonatelor "y" Puncte P și Q la diferența dintre valorile punctelor de coordonate "X" P și Q. Cu alte cuvinte, H = (y_Q - y_P) / (X_Q - X_P), Unde H este panta segmentului PQ. În exemplul nostru, panta segmentului PQ este:

H = (y_Q - y_P) / (X_Q - X_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = unu.33

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 8

4. Repetați procesul de mai multe ori, aducând punctul q la punctul P. Cu cât distanța dintre două puncte, cu atât este mai apropiată valoarea înclinării segmentelor la panta graficului la punctul P. În exemplul nostru, am făcut calculul pentru punctul q cu coordonatele (2.4.8), (1.5.3.95) și (1.25.3.49) (coordonatele punctului P rămân aceleași):

Q = (2.4.opt): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = unu.opt

Q = (1.5.3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (.5) = unu.nouă

Q = (1.25.3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (.25) = unu.96

Imaginea intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 9

cinci. Cu cât este mai mică distanța dintre punctele P și Q, cu atât valoarea H la panta graficului la punctul P la o distanță maximă între punctele P și Q, valoarea H va fi egală cu panta graficului la Punctul P, deoarece nu putem măsura sau calcula distanța maximă între două puncte, metoda grafică oferă valoarea estimată a diagramei la punct.

În exemplul nostru, când am abordat Q la P, am primit următoarele valori H: 1.8-1 1.9 și 1.96. Deoarece aceste numere au tendința de 2, atunci putem spune că panta graficului la punctul P este egală 2.

Amintiți-vă că panta graficului în acest moment este egală cu funcția derivată (care este construită de acest grafic) în acest moment. Programul afișează mișcarea corpului în timp și, după cum se observă în secțiunea anterioară, rata instantanee a corpului este egală cu derivatul ecuației de mișcare a acestui corp. Astfel, acesta poate fi declarat că la t = 2 viteza instantanee este egală 2 m / s (Aceasta este o valoare estimată).

Partea 3 din 3:

Exemple

unu. Calculați viteza instantanee la t = 4, dacă mișcarea corpului este descrisă de ecuația S = 5T - 3T + 2T + 9. Acest exemplu este similar cu sarcina primei partiții cu singura diferență că ecuația a treia ordine este dată aici (și nu cea de-a doua).

Primul calculați derivatul acestei ecuații:
S = 5T - 3T + 2T + 9
S = (3) 5T - (2) 3T + (1) 2T
15T - 6T + 2T - 6T + 2
Acum vom înlocui valoarea t = 4 în ecuație:
S = 15T - 6T + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 m / s

Imagine intitulată Calculați viteza instantanee Pasul 11

2. Estimăm valoarea vitezei instantanee la un punct cu coordonatele (1.3) pe graficul funcției S = 4T - T. În acest caz, punctul P are coordonate (1.3) și este necesar să se găsească mai multe coordonate ale punctului Q, situate aproape de punctul P. Apoi calculăm h și găsim valorile estimate ale vitezei instantanee.

Vom găsi coordonatele Q la t = 2, 1.5, 1.1 și 1.01.

S = 4T - T

T = 2: S = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2,14)

T = 1.cinci: S = 4 (1.5) - (1.cinci)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, deci Q = (1.5,7.cinci)

T = 1.unu: S = 4 (1.unsprezece.unu)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, deci Q = (1.1,3.74)

T = 1.01: S = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, deci Q = (1.01.3.0704)

Acum calculam h:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = unsprezece

Q = (1.5,7.cinci): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.cinci)/(.5) = nouă

Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.unsprezece)
H = (.74) / (.1) = 7.3

Q = (1.01.3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04

Deoarece valorile obținute H se străduiesc 7, se poate spune că viteza corpului instantaneu la punctul (1,3) este egală cu 7 m / s (valoarea estimată).

sfaturi

Pentru a găsi accelerația (schimbarea vitezei în timp), utilizați metoda prima parte pentru a obține un derivat al funcției de mișcare. Apoi luați un alt moment derivat din derivatul primit. Vă va oferi ecuația de a găsi accelerația la momentul timpului - tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți valoarea pentru timp.
Ecuația care descrie dependența (mișcarea) de la x (timpul) poate fi foarte simplă, de exemplu: y = 6x + 3. În acest caz, înclinarea este constantă și nu ia derivatul pentru ao găsi. Conform teoriei graficelor liniare, panta lor este egală cu coeficientul cu o variabilă x, adică în exemplul nostru = 6.
Mutarea este ca o distanță, dar are o anumită direcție, ceea ce face o cantitate vectorială. Mișcarea poate fi negativă, în timp ce distanța va fi doar pozitivă.