Cum de a determina dacă un rând nesfârșit converge: 4 pași

Rândurile numerice nesfârșite duc adesea la confuzie și sperie că sunt destul de greu de imaginat mental. La prima vedere, este greu de spus, un număr converge sau nu, cu câteva secole în urmă, răspunsul la o astfel de întrebare ar dura mai multe ore. Cu toate acestea, în timpul nostru, datorită eforturilor multor matematicieni remarcabili, avem un set de tehnici simple, permițând cu ușurință rezolvarea sarcinii. Aceste tehnici sunt destinate să obțină un răspuns la întrebare, un număr converges sau nu, și să nu-și găsească suma. Pentru a le înțelege, ar trebui să dețineți și elementele de bază ale computerelor.

Pași

unu. Implementați o verificare preliminară. Există o teoremă simplă care afirmă că, dacă suma infinită a funcției F converge, limita funcției f este 0. Astfel, dacă avem funcția x ^ 2, atunci nu are o limită, iar suma sa nu va fi de acord cu infinitatea, pe de altă parte, limita funcționării 1 / x este 0, astfel încât suma sa poate converga. Dacă limita nu este egală cu zero, știm că rândul diverge. ATENȚIE: Opusul nu este adevărat, adică faptul că limita este zero, nu înseamnă că un număr în mod necesar converge. În acest caz, este necesară o verificare suplimentară.

Imaginea intitulată Determinați dacă o serie infinită convergează pasul 2

2. Rânduri geometrice. Pentru aceste rânduri, există o regulă foarte simplă, deci determină mai întâi dacă rândul dvs. este geometric. Seria geometrică este secvența numerelor, fiecare membru al cărui membru poate fi reprezentat ca R ^ K, unde K este o variabilă, iar R este un număr în intervalul dintre -1 și 1. Rândurile geometrice sunt întotdeauna de acord. Mai mult, puteți determina cu ușurință cantitatea de un astfel de rând, care este egală cu 1 / (1-R).

Imagine intitulată Scrieți un joc de Crăciun Pasul 4

3. Garanția armonică generalizată sau Dirichlet. Un astfel de număr se numește suma funcțiilor formularului 1 / (x ^ P), unde x este orice număr. Teorema pentru aceste serii afirmă că, dacă P este mai mare decât unitatea, seria convergează, dacă P este mai mică sau egală cu una, rândul diverge. Aceasta înseamnă că seria 1 / x menționată mai sus este disperată, deoarece poate fi reprezentată ca 1 / (x ^ 1), unde p = 1. Această serie se numește armonică. Un număr 1 / (x ^ 2) converge, ca 2 mai 1.

4. Alte rânduri. Dacă un număr nu aparține uneia dintre tipurile indicate mai sus, aplicați metodele de mai jos de mai jos. Dacă o metodă nu a ajutat, aplicați următoarele, deoarece nu este întotdeauna clar care ar trebui să alegeți. Deși nu există reguli fără echivoc, în timp puteți naviga mai bine în alegerea metodei dorite.

Metoda de comparare. Să presupunem că aveți două rânduri constând din membri pozitivi, a (n) și b (n). Apoi: 1) În cazul în care convergerea infinită B (n) converge și A (n) este mai mică decât B (n) (pentru orice N) suficient de mare), atunci suma A (n) este de asemenea convergentă, 2) dacă B ( n) risipă și a (n)> b (n), apoi a (n) se deosebește și. De exemplu, aveți o serie de 2 / x - o putem compara cu aproape 1 / x. Din moment ce știm deja că seria 1 / x este divergentă și 2 / x> 1 / x, rezultă că un număr de 2 / x se dispersează, de asemenea. Astfel, ideea metodei este de a determina dacă seria este convergentă sau nu, folosind seria deja cunoscută. Imagine intitulată Determinați dacă o serie de serie infinită converge etapa 4BULLET1

Imagine intitulată Determinați dacă o serie de serie infinită converge etapa 4BULLET1

Metodă de limite de comparare. Dacă un (N) și B (n) sunt rânduri de numere pozitive și dacă există o limită A (n) / B (n), care este mai mare de 0, atunci ambele rânduri fie converg sau diverge. În acest caz, seria studiată este, de asemenea, comparată cu metoda cunoscută, metoda este de a alege o serie cunoscută, gradul maxim al căruia corespunde gradului seriei de studiu. De exemplu, dacă luați în considerare o serie 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), este logic să o comparați cu aproape 1 / (x ^ 3). Imagine intitulată Determinați dacă o serie de serii infinite converge etapa 4BULLET2

Imagine intitulată Determinați dacă o serie de serii infinite converge etapa 4BULLET2

Verificați integral. Dacă funcția este mai mare decât zero, continuă și scade la valori x mai mult sau egale cu 1, atunci seria Infinite F (N) converge dacă există un anumit integral de la 1 la infinit de la funcția f (x) și are sensul final - în caz contrar rândul este divergent. Astfel, este suficient să integrați funcția și să găsiți limita pentru X, căutând infinit: Dacă limita este finită, seria convergează, dacă limita este egală cu infinitul, rândul diverge. Imagine intitulată Determinați dacă o serie infinită convergează pasul 4bullet3

Imagine intitulată Determinați dacă o serie infinită convergează pasul 4bullet3

Rânduri semnate. Dacă A (K)> A (K + 1)> 0 la un k suficient de mare și limita A (N) este 0, apoi seria alternativă (-1) ^ N A (N) converge. Pur și simplu să spunem că rândul dvs. este unul semnificativ (adică membrii săi sunt alternativ pozitivi și negativi) - în acest caz, aruncați partea alternativă a funcției și găsiți limita a ceea ce rămâne - dacă limita este finită, Seria convergează.

Metoda de relație. Dacă este dată o serie infinită A (N), găsiți următorul membru al rândului A (n + 1). Apoi calculați raportul dintre elementele ulterioare la anteriorul A (N + 1) / A (N), dacă este necesar, luând valoarea sa absolută. Găsiți limita acestei relații atunci când n se străduiește în infinit, dacă această limită există și este definitivă, aceasta înseamnă următoarele: 1) Dacă limita este mai mică de una, seria converges - 2) dacă limita este mai mare decât unitatea, Rândul este separat de unul) dacă limita este egală cu cea, această metodă insuficientă (un număr poate fi convertit și dispersat).

Acestea sunt principalele metode de determinare a convergenței rândurilor și sunt extrem de utile. Dacă nici unul dintre ei nu a ajutat, este probabil ca sarcina să nu aibă o soluție sau ați făcut o greșeală undeva. Aceste metode pot fi, de asemenea, utilizate pentru alte rânduri, cum ar fi rândurile de putere, rândurile Taylor și T.D. Deținerea acestor metode este dificil de supraestimat, deoarece alte modalități simple de determinare a convergenței unui număr nu există.

sfaturi

Găsiți întotdeauna limita și verificați dacă seria dvs. nu se aplică rândurilor armonice geometrice sau generalizate înainte de a utiliza metoda de comparație. Acest lucru vă va permite să economisiți mult timp și efort.

Avertizări

Nu încercați să rezolvați orice sarcină cu ajutorul unui calculator.