Cum de a rezolva o ecuație recurentă

Înainte de a găsi o formulă a unei anumite secvențe matematice, este necesar să se găsească un membru al acestei secvențe, exprimat prin elementul anterior al secvenței (și nu ca o funcție de la n). De exemplu, ar fi plăcut să știți funcția pentru membrul N-TH al secvenței Fibonacci, dar de multe ori aveți doar o ecuație recurentă care leagă fiecare membru al secvenței Fibonacci cu doi membri anteriori. Acest articol vă va spune cum să rezolvați ecuația recurentă.

Pași

Metoda 1 din 5:

Progresie aritmetică

unu. Luați în considerare secvența 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 2

2. Fiecare membru al acestei secvențe este mai mare decât cel precedent membru de 3, astfel încât acesta poate fi exprimat prin ecuația recurentă prezentată în figură.

Imagine cu titlu de rezolvare recurența relansată Pasul 3

3. Ecuația recurentă de tip A_N = A_N-1 + D este o progresie aritmetică.

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 4

4. Înregistrați formula pentru a calcula membrul N-TH al progresiei aritmetice, așa cum se arată în figură.

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 5

cinci. Submire valoarea în formula acestei secvențe. În exemplul nostru 5 - acesta este al 0-lea membru al secvenței. Apoi formula are un aspect a_N = 5 + 3N. Dacă 5 este cel de-al doilea membru al secvenței, atunci formula are forma a_N = 2 + 3N.

Metoda 2 din 5:

Progresie geometrică

unu. Luați în considerare secvența 3, 6, 12, 24, 48, ....

Imagine cu titlu de rezolvare Recurence Relus Pasul 7

2. Fiecare membru al acestei secvențe este mai mare decât cel precedent de 2 ori, astfel încât acesta poate fi exprimat prin ecuația recurentă prezentată în figură.

Imagine intitulată Rezolva recurența RĂSPUNSĂ PASUL 8

3. Ecuația recurentă de tip A_N = R * a_N-1 este progresia geometrică.

4. Înregistrați formula pentru calcularea membrilor N-TH a progresiei geometrice, așa cum se arată în figură.

Imagine cu titlu de rezolvare recurența relansată Pasul 10

cinci. Submire valoarea în formula acestei secvențe. În exemplul nostru 3 - acesta este al 0-lea membru al secvenței. Apoi formula are un aspect a_N = 3 * 2. Dacă 3 este cel de-al doilea membru al secvenței, atunci formula are apariția a_N = 3 * 2.

Metoda 3 din 5:

Polinom.ro

unu. Luați în considerare o secvență 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., dată de ecuația recurentă prezentată în figură.

Imagine cu titlu de rezolvare Recurence Relation Pasul 12

2. Orice ecuație recurentă a speciei prezentate în figură (unde P (N) este poliplată de la n), are un polinom, al cărui indicator este 1 mai mare decât indicatorul.

Imagine cu titlu de rezolvare recurența relansată Pasul 13

3. Scrieți un polinom al ordinii corespunzătoare. În exemplul nostru, P are o comandă a doua, deci este necesar să se scrie un polinom cubic pentru a prezenta o secvență a_N.

Imagine cu titlu de rezolvare recurența relansată Pasul 14

4. Deoarece patru coeficienți necunoscuți în polinomul cubic, scrieți sistemul a patru ecuații. Orice patru sunt potriviți, deci luați în considerare 0 Oh, primii, al 2-lea, al treilea membru. Dacă doriți, luați în considerare cel de-al1-lea membru al ecuației recurente de a simplifica procesul de decizie (dar nu este necesar).

Imagine intitulată Solva recurența relansată Pasul 15

cinci. Decideți ecuațiile sistemului de diplomă rezultat (P) +2 pentru gradul (p) = 2 necunoscuți așa cum se arată în figură.

Imagine intitulată Rezolva recurența RĂSPUNSUL PASULUI 16

6. În cazul în care o - Acesta este unul dintre membrii pe care sunteți folosit pentru a calcula coeficienții, apoi veți găsi rapid un membru permanent al polinomului și puteți simplifica sistemul la gradul (p) +1 ecuațiile pentru gradul (P) +1 Necunoscute ca prezentat în figură.

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 17

7. Decideți sistemul ecuațiilor liniare și obțineți C₃ = 1/3, c₂ = -5/2, c_unu = -17/6, c = 5. Notați formula pentru a_N sub forma unui polinom cu coeficienți cunoscuți.

Metoda 4 din 5:

Ecuații recurente liniare

unu. Aceasta este una dintre metodele de rezolvare a Fibonacci. Cu toate acestea, această metodă poate fi utilizată pentru a rezolva ecuațiile recurente în care N-B este o combinație liniară a membrilor K anteriori. Luați în considerare o secvență 1, 4, 13, 46, 157, ....

Imagine intitulată Solva recurența RĂSPUNSĂ PASUL 19

2. Scrieți polinomul caracteristic al ecuației recurente. Pentru a face acest lucru, înlocuiți a_Npe x și împărțiți ATX - obțineți un grad de polinom K și un alt membru permanent decât zero.

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 20

3. Decideți polinomul caracteristic. În exemplul nostru, acesta deține gradul 2, utilizați astfel formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației pătrate.

Imagine intitulată Rezolvarea recurenței reveni cu pasul 21

4. Orice expresie a aspectului arătat în figură satisface ecuația recurentă. C_I- Acestea sunt orice constantă, iar fundamentele gradului sunt rădăcinile polinomului caracteristic (rezolvate mai sus).

Dacă polinomul caracteristic are mai multe rădăcini, atunci trebuie să faceți următoarele. Dacă R este rădăcina multiplicității m, în loc de_unuR) utilizarea (c_unuR + C₂Nr + C₃Nr + ... + C_MNr). De exemplu, ia în considerare secvența 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., satisfacerea ecuației recurente a_N = 6A_N-1 - 12a_N-2 + 8A_N-3. Polinomul caracteristic are trei rădăcini, iar formula este scrisă ca: a_N = 5 * 2 - 7 * N * 2 + 2 * N * 2.

Imagine cu titlu de rezolvare recurența RĂSPUNSUL PASUL 22

cinci. Găsiți un C. Permanent C_I, satisfacerea condițiilor inițiale. Pentru acest sistem de înregistrări de ecuații cu condițiile inițiale. De când în exemplul nostru necunoscut, scrieți sistemul a două ecuații. Orice două sunt potrivite, deci luați în considerare al 0 și primii membri pentru a evita construcția unui număr irațional într-o măsură mai mare.

Imagine cu titlu de rezolvare Recurence Relus Pasul 23

6. Rezolvați sistemul rezultat al ecuațiilor.

Imagine cu titlu de rezolvare Recurența relansată Pasul 24

7. A găsit un submold constant în formula.

Metoda 5 din 5:

Funcții efectuate

unu. Luați în considerare secvența 2, 5, 14, 41, 122 ..., dată de ecuația recurentă prezentată în figură. Nu poate fi rezolvată utilizând niciuna dintre metodele descrise mai sus, dar formula trece prin producerea de funcții.

Imagine intitulată Rezolva recurența RĂSPUNSUL PASUL 26

2. Scrieți o funcție producătoare de secvențe. Funcția de producție este un rând oficial de putere, unde coeficientul de X este un membru al N-Th al secvenței.

Imagine intitulată Rezolva recurența relansată Pasul 27

3. Conversia funcției productive așa cum se arată în imagine. Scopul acestui pas este de a găsi ecuația care vă va permite să rezolvați funcția de producție a (x). Eliminați membrul inițial. Aplicați ecuația recurentă pentru membrii rămași. Împărțiți suma. Eliminați membrii permanenți. Utilizați definiția A (x). Utilizați formula pentru a calcula cantitatea de progresie geometrică.

Imagine intitulată Rezolvarea recurenței relansate Pasul 28

4. Găsiți produsul A (x).

Imagine cu titlu de rezolvare recurența reveni cu pasul 29

cinci. Găsiți coeficientul la x în A (x). Metodele de constatare a coeficientului depind de tipul de funcție A (x), dar cifra prezintă metoda fracțiilor elementare în combinație cu funcția de generare a progresiei geometrice.

Imagine intitulată Rezolvarea recurenței RĂSPUNSUL PASUL 30

6. Notați formula pentru a_N, Pentru a găsi coeficientul la x în A (x).

sfaturi

Metoda inductivă este, de asemenea, foarte populară. Adesea este ușor să dovediți (folosind metoda inductivă) că o formulă satisface o ecuație recurentă, dar problema este că este necesar să ghiciți formula în avans.
Unele dintre metodele descrise necesită o cantitate mare de computere, care poate implica erori. Prin urmare, verificați formula pentru mai multe condiții bine cunoscute.