Cum se calculează manual rădăcina cubică

Dacă există un calculator la îndemână, îndepărtați rădăcina cubică de la orice număr nu va fi nici o problemă. Dar dacă nu există un calculator sau doriți doar să impresionați înconjurarea, scoateți rădăcina cubică manuală. Majoritatea persoanelor descrise aici procesul vor părea destul de dificil, dar cu practica de a extrage rădăcinile cubice vor fi mult mai ușor. Înainte de a începe să citiți acest articol, amintiți-vă operațiunile matematice de bază și calculele cu numerele din Cuba.

Pași

Partea 1 din 3:

Îndepărtarea unei rădăcini cubice pe un exemplu simplu

unu. Scrieți sarcina. Extracția rădăcinii cubice similare manuală cu diviziunea într-o coloană, dar cu unele nuanțe. Mai întâi scrieți sarcina într-o anumită formă.

Înregistrați numărul din care trebuie să fie eliminată rădăcina cubică. Număr pentru a intra în trei cifre pe grupuri și începeți numărătoarea inversă cu un punct zecimal. De exemplu, trebuie să extrageți rădăcina cubică din 10. Scrieți acest număr după cum urmează: 10, 000 000. Zerul suplimentar sunt concepute pentru a îmbunătăți acuratețea rezultatului.
Aproape și peste numărul trage un semn rădăcină. Imaginați-vă că aceasta este o linie orizontală și verticală pe care o desenezi atunci când se împarte în coloană. Singura diferență este forma a două caractere.
Peste linia orizontală, puneți o virgulă zecimală. Fă-o direct deasupra semiconului zecimal.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 2

2. Amintiți-vă rezultatele construcției întregi. Acestea vor fi utilizate în calcule.

unu 3 = unu * unu * unu = unu

$1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1$

23 = 2 * 2 * 2 = opt

$2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8$

33 = 3 * 3 * 3 = 27

$3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27$

43 = 4 * 4 * 4 = 64

$4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64$

cinci 3 = cinci * cinci * cinci = 125

$5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125$

63 = 6 * 6 * 6 = 216

$6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216$

73 = 7 * 7 * 7 = 343

$7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343$

opt 3 = opt * opt * opt = 512

$8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512$

nouă 3 = nouă * nouă * nouă = 729

$9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729$

103 = 10 * 10 * 10 = 1000

$10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000$

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 3

3. Găsiți prima cifră a răspunsului. Alegeți un cub de un număr întreg, care este cel mai apropiat, dar mai mic decât primul grup de trei cifre.

În exemplul nostru, primul grup de trei cifre este numărul 10. Găsiți cel mai mare cub care este mai mic de 10. Un astfel de cub este de 8, iar rădăcina cubică de 8 este 2.

Peste linia orizontală peste numărul 10 Scrieți numărul 2. Apoi scrieți valoarea operațiunii

23

$2 ^ {3}$ = 8 sub 10 ani. Faceți o linie și deduceți 8 din 10 (ca și cu divizia obișnuită din coloană). Ca rezultat, se va dovedi 2 (acesta este primul reziduu).

Așa că ați găsit prima cifră a răspunsului. Gândiți-vă dacă acest rezultat este destul de precis. În cele mai multe cazuri va fi un răspuns foarte aproximativ. La începutul rezultatului în cub pentru a afla cât de aproape este aproape de numărul inițial. În exemplul nostru:

23

$2 ^ {3}$ = 8, care nu este foarte aproape de 10, astfel încât calculele trebuie să continue.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 4

4. Găsiți următorul răspuns. La primul reziduu, trimiteți al doilea grup de trei cifre și spre stânga numărului rezultat, petreceți o linie verticală. Utilizarea numărului rezultat veți găsi a doua cifră a răspunsului. În exemplul nostru, la primul reziduu (2) trebuie să atribuiți un al doilea grup de trei cifre (000) pentru a obține numărul 2000.

În partea stângă a liniei verticale scrieți trei numere, suma este egală cu un anumit prim factor. Lăsați spațiile goale pentru aceste numere și între ele au pus semnele "plus".

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 5

cinci. Găsiți primul termen (din trei). În primul spațiu gol, scrieți rezultatul multiplicării numărului 300 pe pătrat al numărului de prim răspuns (este înregistrat deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru, prima cifră a răspunsului este de 2, prin urmare 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Scrieți 1200 în primul spațiu gol. Primul termen este numărul de 1200 (plus două numere pentru a găsi).

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 6

6. Găsiți a doua cifră a răspunsului. Aflați ce număr aveți nevoie pentru a multiplica 1200, astfel încât rezultatul este aproape, dar nu a depășit 2000. Într-un astfel de număr poate fi doar 1, ca 2 * 1200 = 2400, care este mai mare de 2000. Scrieți 1 (răspuns al doilea digit) după 2 și punct zecimal peste semnul rădăcinii.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 7

7. Găsiți al doilea și al treilea termeni (de trei). Multiplicatorul este alcătuit din trei numere (termeni), primul dintre care ați găsit deja (1200). Acum trebuie să găsiți cei doi termeni rămași.

Înmulțiți 3 până la 10 și pentru fiecare răspuns (ele sunt înregistrate deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Adăugați acest rezultat la 1200 și obțineți 1260.

În cele din urmă, alergați în ultimul răspuns de ultimă cifră. În exemplul nostru, ultima cifră a răspunsului este de 1, de aceea 1 ^ 2 = 1. Astfel, primul factor este egal cu suma următoarelor numere: 1200 + 60 + 1 = 1261. Notați acest număr în partea stângă a caracteristica verticală.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 8

opt. Multiplicați și deduceți. Înmulțiți ultima cifră a răspunsului (în exemplul nostru este 1) față de factorul găsit (1261): 1 * 1261 = 1261. Notați acest număr sub 2000 și deduceți-l din 2000. Veți primi 739 (acesta este al doilea reziduu).

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 9

nouă. Gândiți-vă dacă răspunsul rezultat este destul de precis. Fă-o de fiecare dată după finalizarea următoarei scăderea. După prima scădere, răspunsul a fost egal cu 2, care nu este rezultat exact. După a doua scădere, răspunsul este 2.1.

Pentru a verifica acuratețea răspunsului, luați-o într-un cub: 2.1 * 2.1 * 2,1 = 9,261.

Dacă credeți că răspunsul este destul de precis, calculele nu pot fi continuate - altfel, faceți o scădere.

Imaginea intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 10

10. Găsiți al doilea factor. Pentru a practica calculele și a obține un rezultat mai precis, repetați pașii descriși mai sus.

La cel de-al doilea reziduu (739), trimiteți al treilea grup de trei cifre (000). Veți primi numărul 739000.

Multiplicați 300 pe pătrat al numărului, care este înregistrat deasupra semnului rădăcină (21):

300 * 21 2

$300 * 21 ^ {2}$ = 132300.

Găsiți un răspuns al treilea cifră. Aflați ce număr aveți nevoie pentru a multiplica 132300, astfel încât rezultatul este aproape, dar nu a depășit 739000. Un astfel de număr este de 5: 5 * 132200 = 661500. Scrieți 5 (a treia cifră de răspuns) după 1 deasupra semnului rădăcinii.

Înmulțiți 3 până la 10 la 21 și pe ultima cifră a răspunsului (ele sunt înregistrate deasupra semnului rădăcinii). În exemplul nostru:

3 * 21 * cinci * 10 = 3150

În cele din urmă, alergați în ultimul răspuns de ultimă cifră. În exemplul nostru, ultimul răspuns de cifră este de 5, deci

cinci 2 = 25.

$5 ^ {2} = 25$

Astfel, al doilea factor este: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 11

unsprezece. Înmulțiți ultima cifră a răspunsului la cel de-al doilea factor. După ce ați găsit al doilea factor și a treia cifră a răspunsului, acționați după cum urmează:

Înmulțiți ultima cifră a răspunsului la multiplicatorul găsit: 135475 * 5 = 677375.

Ștergere: 739000-677375 = 61625.

Gândiți-vă dacă răspunsul rezultat este destul de precis. Pentru a face acest lucru, luați-l într-un cub:

2, cincisprezece * 2, cincisprezece * 2, cincisprezece = nouă, 94

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 12

12. Scrieți răspunsul. Rezultatul înregistrat deasupra semnului rădăcinii este răspunsul cu o precizie de două cifre după virgulă. În exemplul nostru, o rădăcină cubică de 10 este 2,15. Verificați răspunsul consumând-o în cubic: 2.15 ^ 3 = 9.94, care este de aproximativ 10. Dacă aveți nevoie de o precizie excelentă, continuați calculele (așa cum este descris mai sus).

Partea 2 din 3:

Extracția rădăcinii cubice prin evaluări

unu. Utilizați numere de cuburi pentru a determina limitele superioare și inferioare. Dacă trebuie să scoateți rădăcina cubică aproape de orice număr, găsiți cuburile (unele numere), care sunt aproape de acest număr.

De exemplu, trebuie să extrageți rădăcină cubică din 600. La fel de $opt 3 = 512$ $8 ^ {3} = 512$ și $nouă 3 = 729$ $9 ^ {3} = 729$ , Valoarea rădăcinii cubice de 600 se află între 8 și 9. Prin urmare, utilizați numerele 512 și 729 ca limitele superioare și inferioare ale răspunsului.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 14

2. Evaluați al doilea număr. Primul număr pe care l-ați găsit din cauza cunoașterii cuburilor întregi. Acum, întoarceți un număr întreg într-o fracție zecimală, atribuindu-l (după o semicolon zecimal) unele cifre de la 0 la 9. Este necesar să se găsească o fracțiune zecimală, care va fi aproape, dar mai puțin număr de sursă.

În exemplul nostru, numărul 600 este între numerele 512 și 729. De exemplu, la primul număr găsit (8), impune o cifră de 5. Se pare că numărul 8.5.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 15

3. Evaluați numărul rezultat, ridicându-l în cub. Faceți-o pentru a verifica dacă cubul este aproape, dar nu mai mult decât numărul original.

În exemplul nostru:

opt, cinci * opt, cinci * opt, cinci = 614, unu.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 16

4. Dacă este necesar, evaluați un alt număr. Comparați numărul numărului rezultat cu numărul inițial. Dacă numărul numărului rezultat este mai mare decât numărul original, încercați să evaluați un număr mai mic. Dacă cubul numărului rezultat este mult mai mic decât numărul inițial, evaluați numerele mari până când cubul uneia dintre ele depășește numărul inițial.

În exemplul nostru:

opt, cinci 3

$8.5 ^ {3}$ > 600. Astfel, estimați mai puțin de 8.4. Construiți acest număr în cub și comparați-l cu un număr de pornire:

opt, 4 * opt, 4 * opt, 4 = 592, 7

. Acest rezultat este mai mic decât numărul original. Astfel, valoarea rădăcinii cubice de 600 se află între 8,4 și 8,5.

Imaginea intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 17

cinci. Evaluați numărul următor pentru a îmbunătăți acuratețea răspunsului. Pentru fiecare număr sunteți apreciat de acesta din urmă, atribuiți numărul de la 0 la 9 până când primiți un răspuns corect. În fiecare rundă estimată, trebuie să găsiți limitele superioare și inferioare, între care este localizat numărul inițial.

În exemplul nostru:

opt, 4 3 = 592, 7

$8.4 ^ {3} = 592.7$ și

opt, cinci 3 = 614, unu

$8.5 ^ {3} = 614.1$ . Numărul inițial este de 600 mai aproape de 592 de 614. Prin urmare, la ultimul număr pe care l-ați evaluat, impuneți o figură mai aproape de 0 decât 9. De exemplu, un astfel de număr este de 4. Prin urmare, luați în numărul cubului 8.44.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 18

6. Dacă este necesar, evaluați un alt număr. Comparați numărul numărului rezultat cu numărul inițial. Dacă numărul numărului rezultat este mai mare decât numărul original, încercați să evaluați un număr mai mic. Pe scurt, trebuie să găsiți astfel de numere ale căror cuburi sunt ușor mai puțin mai puțin decât numărul original.

În exemplul nostru

opt, 44 * opt, 44 * opt, 44 = 601, 2

. Aceasta este o mică sursă, deci apreciați celălalt (mai mic) număr, de exemplu, 8.43:

opt, 43 * opt, 43 * opt, 43 = 599, 07

. Astfel, valoarea rădăcinii cubice de 600 se află între 8,43 și 8,44.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 19

7. Efectuați procesul descris până când primiți răspunsul, acuratețea căreia veți aranja. Evaluați următorul număr, comparați-l cu sursa, atunci dacă este necesar, evaluați un alt număr și așa mai departe. Rețineți că fiecare cifră suplimentară după o semicolondie zecimală crește acuratețea răspunsului.

În exemplul nostru, lista de 8.43 este mai mică decât numărul original mai mic de 1. Dacă aveți nevoie de o precizie mare, luați numărul 8,434 în cub și obțineți asta

opt, 434 3 = 599, 93

$8,434 ^ {3} = 599.93$ , Adică rezultatul este mai puțin număr de sursă mai mică de 0,1.

Partea 3 din 3:

Explicarea procesului de calcul descris

unu. Amintiți-vă numărul de binomină. Rândul de binomină este rezultatul construcției binomului (răsucite) într-o oarecare măsură, în acest caz în cub. Pentru a înțelege algoritmul de extracție a rădăcinilor cubice descris aici, mai întâi amintiți cum biscuiți bicked. Cel mai probabil, l-ați studiat la școală (și, probabil, ați uitat cât de mulți oameni). Variabile

A

și

B

Indicați câteva numere fără echivoc. Apoi, numărul de două cifre poate fi scris ca un binom

(10 A + B)

Iată un membru $10 A$ reprezintă descărcarea de zeci, adică dacă $A$ - Acesta este un număr fără ambiguitate, atunci $10 A$ - Acesta este deja un număr corespunzător de două cifre. De exemplu, dacă $A$ = 2, și $B$ = 6, atunci $(10 A + B)$ = 26, adică aveți un număr de două cifre 26.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 21

2. Sări timp în cub. Faceți acest lucru pentru a înțelege procesul de extracție a rădăcinii cubice, care este descrisă în prima secțiune. calculati

(10 A + B) 3

$(10A + b) ^ {3}$ =

(10 A + B) * (10 A + B) * (10 A + B)

1000 A 3 + 300 A^{2} B + treizeci A B^{2} + B^{3}

$1000a ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}$ (Aici am redus mai multe etape ale construcției cubului, pentru a nu dezvălui articolul prin calcule).

Explicație detaliată poate fi găsită Aici.

Imaginea intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 22

3. Înțelegeți algoritmul de divizare din coloană. Rețineți că metoda de extracție a rădăcinilor cubice descrise aici este foarte asemănătoare cu diviziunea din coloană. Când împărțiți în coloană trebuie să găsiți numărul (privat), cu multiplicarea căreia se va reuși separatorul. În metoda descrisă ca privată, rezultatul extragerii unei rădăcini cubice (este scris deasupra semnului rădăcinii). Adică rezultatul extragerii unei rădăcini cubice poate fi reprezentat ca bin (10A + B). Valorile exacte ale A și B din această etapă nu sunt importante: amintiți-vă că rezultatul poate fi scris în formă de răsucite.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 23

4. Uită-te la numărul de binom. Aceasta reprezintă suma a patru homorali, datorită căreia este posibil să se înțeleagă principiul acțiunii algoritmului pentru extragerea rădăcinii cubice. Rețineți că multiplicatorul fiecărei faze de extracție rădăcină este egală cu cantitatea de patru termeni care trebuie să fie calculată și pliată.

Multiplicatorul primului termen este numărul 1000. Pentru a calcula prima cifră a răspunsului, găsiți mai întâi un cub de un număr întreg, dar mai puțin decât un anumit număr (și anume primul grup de trei cifre). Aceasta definește un membru de 1000a ^ 3 al numărului de binom.

Multiplicatorul celui de-al doilea membru al numărului de binom este numărul 300 (

3 * 10 2

$3 * 10 ^ {2}$ = 300). Reamintim că în fiecare etapă a extragerii rădăcinii cubice, răspunsul (răspunsurile) corespunzător a fost înmulțit cu 300.

Al doilea mandat din fiecare etapă a extragerii rădăcinii este determinat de cel de-al treilea membru al seriei binomiale, care este egal cu 30Ab ^ 2.

Al treilea termen din fiecare etapă a extracției rădăcinii este determinat de al patrulea membru al seriei binomiale, care este egal cu B ^ 3.

Imagine intitulată Calculați rădăcina cubului cu pasul 24

cinci. Fiți atenți la creșterea preciziei de răspuns. Cu cât mai multe etape ale extragerii rădăcinii pe care le veți trece, cu atât mai precis va fi răspunsul. De exemplu, în acest articol era necesar să extragem o rădăcină cubică din 10. În prima etapă, răspunsul este de 2, deoarece