Cum să găsiți o matrice inversă 3x3

De regulă, operațiunile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresiile algebrice complexe. De exemplu, dacă sarcina este prezentă în diviziunea unei fracții, este posibilă înlocuirea acestuia cu o operație de multiplicare pentru o fracție inversă, care este o operație inversă. Mai mult, matricele nu se pot împărți, deci trebuie să multiplicați pe matricea de întoarcere. Calculați matricea, matricea inversă de dimensiune 3x3, destul de obositoare, dar trebuie să o puteți face manual. De asemenea, valoarea inversă poate fi găsită utilizând un calculator bun grafic.

Pași

Metoda 1 din 3:

Utilizarea unei matrice atașate

unu. Verificați determinantul matricei. Calculați mai întâi determinantul matricei. Dacă determinantul este 0, atunci matricea inversă nu poate fi calculată. Determinantul matricei M este notat ca Det (M).

În cazul unei matrice de 3x3, trebuie să calculați mai întâi determinantul.
Pentru a obține informații detaliate, citiți articolul Cum să găsiți determinantul matricei 3x3.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 2

2. Transparează matricea originală. Transpunerea este o înlocuire a rândurilor pe coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică este necesară modificarea elementelor (I, J) și (J, I). În același timp, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și capete în colțul din dreapta jos) nu se schimbă.

Pentru a schimba rândurile de pe coloane, scrieți primele elemente de linie din prima coloană, elementele celei de-a doua linii din a doua coloană și elementele celei de-a treia linii din coloana a treia. Procedura de schimbare a poziției elementelor este prezentată în figura pe care elementele corespunzătoare sunt înconjurate cu cercuri colorate.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 3

3. Găsiți definirea fiecărei matrice de 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv transpus, este asociat cu matricea corespunzătoare 2x2. Pentru a găsi matricea 2x2, care corespunde unui element specific, traversați șirul și coloana în care este localizat acest element, adică trebuie să traversați cinci elemente ale matricei originale 3x3. Au absolvit patru elemente care sunt elemente ale matricei corespunzătoare 2x2.

De exemplu, pentru a găsi matricea de 2x2 pentru un element care se află pe intersecția celei de-a doua linii și a primei coloane, traversează cinci elemente care se află în a doua linie și prima coloană. Celelalte patru elemente sunt elemente ale matricei corespunzătoare 2x2.

Găsiți determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, produsul elementelor diagonalei secundare va deduce din activitatea elementelor diagonalei principale (a se vedea figura).

Informații detaliate Aproximativ 2x2 matrice corespunzătoare anumitor elemente ale matricei 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 4

4. Creați o matrice de cofactor. Rezultatele obținute anterior, scrieți ca o nouă matrice de cofactor. Pentru aceasta, identificatorul fiecărei matrice 2x2 va scrie unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă matricea 2x2 este luată în considerare pentru elementul (1.1), determinantul său este înregistrat în poziție (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei scheme specifice care figurează în figură.

Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se schimbă - semnul celui de-al doilea element al primei linii se schimbă la opusul - semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa pe net. Rețineți că semnele "+" și ";", care sunt afișate în diagramă (a se vedea figura), nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul "+" sugerează că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul ";" indică o modificare a semnului elementului.

Informații detaliate despre matricele COFACOR pot fi găsite pe Internet.

Deci veți găsi o matrice atașată a matricei originale. Uneori se numește o matrice complexă-conjugată. O astfel de matrice este indicată ca adj (m).

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 5

cinci. Împărțiți fiecare element al matricei atașate la determinant. Determinantul matricea M a fost calculat la început pentru a verifica dacă matricea inversă există. Acum împărțiți fiecare element al matricei atașate la acest determinant. Rezultatul fiecărei operațiuni de divizare va scrie în cazul în care este localizat elementul corespunzător. Deci veți găsi o matrice, o sursă inversă.

Determinantul matricei, care este arătat în figură, este 1. Astfel, aici matricea atașată este o matrice inversă (deoarece atunci când se împarte orice număr la 1 nu se schimbă).

În unele surse, operațiunea de divizare este înlocuită de operațiunea de multiplicare cu 1 / Det (m). În acest caz, rezultatul final nu se schimbă.

Metoda 2 din 3:

Folosind transformări elementare

unu. Un singur matrice scrie lângă matricea originală. Înregistrați matricea inițială M, în partea dreaptă a acesteia, trageți o linie verticală, apoi spre dreapta liniei Notați matricea unității. Se pare o matrice cu trei rânduri și șase coloane (matrice mare).

Amintiți-vă că o singură matrice este o matrice, în care elementele diagonalei principale sunt unități, iar restul elementelor sunt zerouri. Informații detaliate despre matricele unice pot fi găsite pe Internet.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 7

2. Efectuați transformări elementare pentru a obține o singură matrice pentru a obține un singur. Scopul nostru este de a crea o singură matrice pe jumătatea stângă a matricei mari. Transformările elementare efectuate pe jumătatea stângă a unei matrice mari trebuie, de asemenea, efectuate pe jumătatea dreaptă (ne amintim că jumătatea dreaptă a matricei mari este o singură matrice).

Amintiți-vă că transformările elementare includ operațiuni de multiplicare scalară, precum și șirurile de aditare și scade pentru a separa anumite elemente. Informații detaliate despre conversiile matricelor elementare pot fi găsite pe Internet.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 8

3. Continuați să transformați o matrice mare până la jumătatea stângă (adică matricea sursei) nu se va transforma într-o singură matrice. Amintiți-vă că o singură matrice este o matrice, în care elementele diagonalei principale sunt unități, iar restul elementelor sunt zerouri. Când matricea inițială devine unică, pe jumătatea dreaptă a matricei mari veți primi o matrice, o sursă inversă.

Imagine intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 9

4. Notați matricea inversă. Notați elementele situate pe jumătatea dreaptă a matricei mari, ca o matrice separată, care este matricea de întoarcere.

Metoda 3 din 3:

Folosind un calculator

unu. Selectați un calculator care funcționează cu matricele. Cu ajutorul calculatorilor simpli, este imposibil să găsiți o matrice inversă, dar acest lucru se poate face pe un bun calculator grafic, cum ar fi Texas Instruments Ti-83 sau TI-86.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 11

2. Introduceți matricea sursă în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, apăsați butonul Matrix (Matrix) dacă este. În cazul calculatorului Texas Instruments, este posibil să fie necesar să apăsați butoanele 2 și matrice.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 12

3. Selectați Meniu Editare (Editare). Faceți-o utilizând butoanele săgeată sau a butonului funcției corespunzătoare, care se află în partea superioară a tastaturii de calculator (locația butonului depinde de modelul calculatorului).

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 13

4. Introduceți desemnarea matricei. Cele mai multe calculatoare grafice pot lucra cu 3-10 matrice, care pot fi notate cu litere A-J. De regulă, pur și simplu selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul ENTER.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 14

cinci. Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol se referă la 3x3 matrice. Dar calculatoarele grafice știu cum să lucreze cu matrice de dimensiuni mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați butonul ENTER, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou butonul ENTER.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 15

6. Introduceți fiecare element matrice. Matricea apare pe ecranul Calculator. Dacă matricea a fost deja introdusă mai devreme în calculator, acesta va apărea pe ecran. Cursorul va aloca primul element al matricei. Introduceți valoarea primului element și apăsați ENTER. Cursorul se va deplasa automat la următorul element al matricei.

Pentru a introduce valoarea negativă a elementului, apăsați butonul special cu semnul "minus" și nu butonul de operare de scădere - altfel calculatorul nu va putea procesa corect acest număr.

Pentru a merge la un element de matrice specific, utilizați butoanele săgeată.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 16

7. Ieșiți din modul Administrare Matrix. Introducerea valorilor tuturor elementelor Matrix, faceți clic pe butonul Quit. (Sau, dacă este necesar, apăsați butoanele 2 și ieșiți.) Deci, veți lăsa modul de administrare a matricei și veți merge la ecranul principal al calculatorului.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 17

opt. Utilizați un buton special pentru a găsi o matrice inversă. În primul rând, introduceți modul de intrare Matrix (apăsați butonul Matrix) și apăsați butonul Nume pentru a selecta desemnarea matricei pe care ați indicat-o mai devreme (cel mai probabil, [A]). Apoi apăsați butonul de operare inversă, care este marcat ca

X - unu

$x ^ {{- 1}}$ (poate că va trebui mai întâi să apăsați pe 2 butoane). Pe ecran va apărea

A - unu

$A ^ {{- 1}}$ . Apăsați ENTER pentru a afișa matricea inversă.

Nu utilizați butonul ^ (butonul pentru eREndarea la gradul) pentru a introduce un ^ -1 apăsând mai multe taste. Calculatorul nu va înțelege această operațiune.

Dacă după ce faceți clic pe butonul de operare inversă, pe ecran a apărut un mesaj de eroare, cel mai probabil că matricea inversă nu există. Pentru a vă asigura că, calculați identificarea matricelor.

Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 18

nouă. Conversia valorilor elementelor matricei de retur la fracțiunile obișnuite. În mod prestabilit, calculatorul afișează valorile elementelor matricei de întoarcere sub formă de fracțiuni zecimale - în majoritatea cazurilor o astfel de matrice nu poate fi scrisă în răspuns. Prin urmare, valorile zecimale ale elementelor matricei de întoarcere trebuie transformate în fracțiuni obișnuite (în cele mai rare, toate elementele matricei de întoarcere vor fi numere întregi).

În multe calculatoare grafice există un buton care vă permite să convertiți fracțiunile zecimale în mod obișnuit. De exemplu, pe calculatorul Ti-86, faceți clic pe Math, selectați MISC (altele), apoi selectați Frac și apăsați Enter. Fracțiunile zecimale vor fi convertite automat în mod obișnuit.

sfaturi

Metodele descrise pot fi aplicate matricelor ale căror elemente nu sunt numai numere, ci și variabile, necunoscute și chiar și expresii algebrice.
Calcule înregistrate pe hârtie, deoarece este extrem de dificil să găsești o matrice inversă.
Există programe de calculator care pot lucra cu orice matrice, inclusiv Matrix 30x30.
Verificați răspunsul obținut utilizând oricare dintre metodele descrise în acest articol. Pentru asta multiplica Sursa (m) și matricea inversă (M). Amintiți-vă că m * m = m * m = 1. O singură matrice este o matrice, în care elementele diagonalei principale sunt unitățile, iar restul elementelor sunt zerouri. Dacă rezultatul multiplicării nu este egal cu 1, verificați calculele.

Avertizări

Nu toate matricele 3x3 reversibil. Dacă determinantul matricei este 0, matricea inversă nu există. (Vă rugăm să rețineți că există o diviziune într-un determinant în calcule și nu poate fi împărțit în 0.)